a) Pentru $\displaystyle a=0$, calculați $\displaystyle f(-1) \cdot f(4)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \u211D$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)$, ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $\displaystyle (-1, 4)$.

a) Calculați $\displaystyle f(-1)+f(1)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=0$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $\displaystyle f(x) \geq 0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x-1)(x+2)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 1$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3x^2+6x+2$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x+2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -5 \le f(1)=9$, pentru orice $\displaystyle x \textrm{e} [-1,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x-2}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{x}{2} + \ln x \ge 1 + \ln 2$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x^3}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=0$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a\in(-6,-3)$, atunci ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are cel puțin două soluții reale distincte în intervalul $\displaystyle (-3,-1)$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Pentru $\displaystyle m=1$, rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle f(x)=0$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (f(x)-2x)$.

a) Arătați că $\displaystyle f(-2) \cdot f(5)=-28$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=0$.

c) Arătați că, dacă $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ sunt numere reale astfel încât $\displaystyle (p+1)\cdot(q+1)<0$, atunci $\displaystyle f(p)\cdot f(q)<0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{e^x(x-2)}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^{x-2} - x + 1 \ge 0$, pentru orice $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{6x^2}{x+1}$, $\displaystyle x \in (-1, \infty)$.

b) Demonstrați că valoarea minimă a funcției $\displaystyle f$ este $\displaystyle 0$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sqrt{x}}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = xe^x$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \sqrt[n]{e^{n-1}} - \frac{n}{n+1}$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \geq 2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x(x+2)}{(x^2+2x+2)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=-1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 1 \le f(x) \le \frac{7}{4}$ și $\displaystyle f(x) \le 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{4^x-1}{(1-2x)^2}=1$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a < 3$, ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $\displaystyle (1,3)$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=1$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{f(x)}-3}{x-3}$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=1+x^3-x^4$. Demonstrați că ecuația $\displaystyle (f+g)(x)=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $\displaystyle (0,2)$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^e f(x) dx=2(4-\sqrt{e})$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \int_1^{e^{n+1}} f(x) dx = \frac{7}{3}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=12$.

b) Determinaţi aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{x}{f(x)}$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$.

c) Demonstraţi că există un unic număr real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \int_0^x e^{f(t)}dt = x$.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Pentru $\displaystyle a=1$, determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, ecuația $\displaystyle f(x)=|a|$ are cel puțin o soluție.

a) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Pentru $\displaystyle m \leq 0$, demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este surjectivă.