a) Calculaţi $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=0$, situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle e^x \ge x+1$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 4$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 1$.

c) Determinați punctele de extrem ale funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\left(x^{2}+2x+2\right)e^{x}}{(x+2)^{2}}$, $\displaystyle x \in (-2,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că ecuația $\displaystyle f(x) = 1$ are cel puțin o soluție în intervalul $\displaystyle (1,2)$.

a) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Pentru $\displaystyle b=2$, rezolvați în mulțimea $\displaystyle (2, +\infty)$ inecuația $\displaystyle (f(x)-1)(2^x-16) \le 0$.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$ știind că funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=2$.

b) Pentru $\displaystyle a=8$, rezolvați ecuația $\displaystyle f(x)=0$.

c) Pentru $\displaystyle a=8$, stabiliți semnul funcției $\displaystyle f$.

a) Calculați $\displaystyle f(1)\cdot f(3)$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0$, pentru orice $\displaystyle a<2$ și $\displaystyle b>2$.

a) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \frac{f(x)}{x} \right)^{x+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=0$.

b) Calculați $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x(2 x+1)(3 x+2)}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \geq 5$ pentru orice $\displaystyle x \in [-1, \infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=e^x(x^2-4x+3)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^x(x-3)^2 \le 4e$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 3]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x^2-1)}{(x^2+x+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (f(x))^x$.

a) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=1$.

b) Pentru $\displaystyle a=2$, calculați $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{f(x)}-\sqrt{f(x)+x})$.

c) Pentru $\displaystyle a=-1$, arătați că ecuația $\displaystyle f(x)+2^x=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $\displaystyle [-1,0]$.

a) Arătați că dreapta de ecuație $\displaystyle x=1$ este asimptotă verticală la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$.

c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=-1$.

b) Arătați că $\displaystyle f(x) \ge 0$ pentru orice $\displaystyle x \le -1$.

c) Pentru $\displaystyle a=-1$, arătați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $\displaystyle [0,2]$.

a) Calculați $\displaystyle f(0)+f(2)$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în $\displaystyle x=1$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $\displaystyle f(x) \le 0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că, pentru orice număr real $\displaystyle a\in(-1,1)$, ecuaţia $\displaystyle f(x)=a$ are soluţie unică.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3(1-x)(1+x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim\limits_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = -9$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \le 4$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (0, \infty)$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (0, \infty)$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că șirul $\displaystyle (x_n)_{n \ge 1}$ este descrescător.