Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \setminus \{-1\} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+x+1}{x+1}$.

a) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa absciselor.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(f(1) + f(2) + \dots + f(n)\right)^n$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-3\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x-1)(x+2)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 1$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x \ln x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1-\ln x}{x^2 (\ln x)^2}$, pentru $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \ln x > x-1$, pentru orice $\displaystyle x \in (1, \infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+3x+1}{x(x+1)^3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^3}-\frac{1}{(x+1)^3}$, pentru orice $\displaystyle x\in(0,\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(f(1)+f(2)+f(3)+\dots+f(n)\right)^{2n^3}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+ax+6}{x+1}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle a=7$, calculați $\displaystyle \lim_{x \to -1} f(x)$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care dreapta de ecuație $\displaystyle y=x+2$ este asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, oricare ar fi numărul real $\displaystyle a$, funcția $\displaystyle f$ nu admite asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x+5}{x^2+x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x)=0$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} ((2x-1)f(x))$.

c) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (2, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x+1 + \frac{1}{x-2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)-f(3)}{x-3} = 0$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (2, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \text{arctg } x - x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2}{x^2 + 1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) + g(x) = \frac{\pi}{2}$ pentru orice număr real $\displaystyle x$, unde $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \text{arctg } x + x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (2, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+6x}{x-2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-6)(x+2)}{(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in (2, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ nu are puncte de inflexiune.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (-1, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați imaginea funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x-1}{x^2+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -\frac{x^2+2x-3}{(x^2+3)^2}$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -1 \le f(x) + \frac{1}{2}f'(x) \le \frac{1}{2}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Notă: Subpunctul c) pare să aibă o eroare în enunț, menționând $\displaystyle y$ când se referă la funcția $\displaystyle f(x)$ și derivata sa $\displaystyle f'(x)$. Vom rezolva conform baremului, care ignoră $\displaystyle y$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = (x - 1)e^x + 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = xe^x$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \sqrt[n]{e^{n-1}} - \frac{n}{n+1}$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \geq 2$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x-2}{x}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2}$.

b) Demonstrați că ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că există un singur număr natural nenul $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(mx)}{f(x)} = m^2-m$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(2,\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)=2$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac{f(2x)}{f(x)}$.

c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-2, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+2x+1}{x+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x+1)(x+3)}{(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (-2, \infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (-2, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x-1+\frac{2}{x+1}-\frac{\ln x}{x+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-1}{(x+1)^2} - \frac{1-x\ln x}{x(x+1)^2}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Se consideră funcțiile $\displaystyle g:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{x-1}{x+1}$ și $\displaystyle h:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle h(x) = \frac{\ln x}{x+1}$. Demonstrați că graficele funcțiilor $\displaystyle g$ și $\displaystyle h$ nu au niciun punct comun.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2-x)(2+x)}{(x^2+4)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați mulțimea valorilor funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+6x+9}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2+x+3}{e^x}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 0 \leq (x+3)^2e^x \leq 4e$, pentru orice $\displaystyle x \in [-3, +\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x \in (-\infty, 0) \\ \sqrt{x^2+2x}, & x \in [0, +\infty) \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Pentru $\displaystyle a=1$, determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, ecuația $\displaystyle f(x)=|a|$ are cel puțin o soluție.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x^2-2, & x \in (-\infty, 1] \\ \ln x+m, & x \in (1,+\infty) \end{cases}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Pentru $\displaystyle m \leq 0$, demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este surjectivă.