Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+x+1}$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0,\infty) \to \u211D$, $\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=\frac{1-\ln x}{{x}^{2}}$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Arătaţi că $\displaystyle f(x) \leq \frac{1}{e}$ pentru orice $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x+e^x$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x) \ge 4x+1$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)= \begin{cases} e^x+a, & x<2 \\ x^2, & x=2 \\ 2x+b, & x>2 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care funcția $\displaystyle f$ este continuă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Pentru $\displaystyle b=2$, rezolvați în mulțimea $\displaystyle (2, +\infty)$ inecuația $\displaystyle (f(x)-1)(2^x-16) \le 0$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln x - \frac{x}{x+e}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to e} f(x)$.

b) Arătați că dreapta de ecuație $\displaystyle x=0$ este asimptotă verticală la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2+1}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to 1}f(x)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}xf(x)$.

c) Determinați ecuația asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (1, +\infty) \to \mathbb{R}; f(x) = \frac{x^2+2}{x-1}$.

a) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \frac{f(x)}{x} \right)^{x+3}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-\frac{1}{x}.$

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1+\frac{1}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty).$

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f.$

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este concavă pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty).$

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-\sqrt{x^2+1}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că derivata funcției $\displaystyle f$ este descrescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \ln \frac{x+1}{x}$ și șirul de numere reale $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$, $\displaystyle a_n = f(1) + f(2) + \dots + f(n)$.

a) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Arătați că șirul $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ este crescător.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (2n+1)(a_n - \ln n)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x-1}$.

a) Arătați că dreapta de ecuație $\displaystyle x=1$ este asimptotă verticală la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$.

c) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (2, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x+4}{x-2}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} (x-2)f(x))$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: ℝ \to ℝ$, $\displaystyle f(x) = xe^x - e^x + 1$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x ℙ \in \u211D$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f : (-2,\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x-2}{x+2}$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$, $\displaystyle x \in (-2,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0 = 0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=(x-1)e^x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=xe^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge -1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^3-3\ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{3(x^3-1)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge 1$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{x^2+2x-11}{x-3}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(2x+2)(x-3)-(x^2+2x-11)}{(x-3)^2}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(\pi)>13$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, + \infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{2x+1}{x}$ și sirul de numere reale $\displaystyle (x_n)_{n \ge 1}$ cu $\displaystyle x_n=f(n)$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că șirul $\displaystyle (x_n)_{n \ge 1}$ este descrescător.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1, +\infty) \to \u211D$, $\displaystyle f(x)=\frac{mx^2+4x-m}{x-1}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că dreapta de ecuație $\displaystyle x=1$ este asimptotă verticală la graficul funcției $\displaystyle f$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$, pentru care dreapta de ecuație $\displaystyle y=3$ este asimptotă orizontală la graficul funcției $\displaystyle g:(1, +\infty) \to \u211D$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x}$.

c) Pentru $\displaystyle m=-1$, calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-5}{x-2}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (-2,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x^2+3x+5}}{x+2}$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -1}f(x)$.

b) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați ecuația asimptotei orizontale la graficul funcției $\displaystyle f$.