În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,2)$, $\displaystyle B(5,2)$ și $\displaystyle C(5,6)$. Demonstrați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este isoscel.

6. Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle B(1) + B(2) + B(3) + \dots + B(n) = \begin{pmatrix} 200 & 5050 \\ 5250 & 400 \end{pmatrix}$.

1. Determinați a 2020-a zecimală a numărului $\displaystyle \frac{5}{6}$.

5. Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(1,1)+A(2,2)+...+A(n,n) = nA(4,4)$.

Se consideră matricea $\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2x & x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. \newline 6. Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că suma numerelor întregi $\displaystyle x$ care verifică inegalitatea $\displaystyle \det (nM(x)-xM(n)) \leq n^2$ este egală cu $\displaystyle 36$.

Arătați că numărul $\displaystyle 2-\sqrt{3}*2+\sqrt{3}$ este natural.

6. Determinați numărul întreg $\displaystyle k$ pentru care $\displaystyle B(1)-2B(2)+3B(3)-\dots-20B(20)=kB(21)$.

5. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle M(1)+M(2)+M(3)+...+M(9)=aM(b)$.

Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale, cu $\displaystyle m<n$, pentru care $\displaystyle m * n = 1$, pentru care $\displaystyle m<n$, obținem $\displaystyle m=-4$, $\displaystyle n=-2$, $\displaystyle (1,4)$ și $\displaystyle (2,2)$.

1. Determinați al patrulea termen al progresiei aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$, ştiind că $\displaystyle a_1=5$ și $\displaystyle a_2=11$.

Se consideră progresia aritmetică $\displaystyle (b_n)_{n \ge 1}$, ştiind că $\displaystyle b_2 = 6$ şi $\displaystyle b_3 = 3$. Determinați primul termen al progresiei aritmetice.

Determinaţi termenul $\displaystyle b_7$ al progresiei geometrice $\displaystyle (b_n)_{n \geq 1}$, ştiind că $\displaystyle b_3=3$ şi $\displaystyle b_5=6$.

Se consideră progresia aritmetică $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ cu $\displaystyle a_1 = 2$ și $\displaystyle a_2 = 14$. Calculați termenul $\displaystyle a_3$.

5p Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$, știind că $\displaystyle a_1 = \frac{1}{2}$ și $\displaystyle a_4 = 5$.

Calculați $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{2020}{2022}$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 4^x*2^x = 2^8$.