Exerciții

ecuațiilogaritmi

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_3(x+1)=2\log_3(x-5)$ .

Subiectul I

combinatoricămulțimi

Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are 45 de submulțimi cu două elemente.

Subiectul I

geometrie analiticăvectori

Se consideră dreptunghiul $\displaystyle ABCD$ și $\displaystyle \vec{v}=\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}$ . Știind că lungimea vectorului $\displaystyle \vec{v}$ este egală cu 20, determinați lungimea vectorului $\displaystyle \vec{BD}$ .

Subiectul I

trigonometrie

Arătați că, dacă $\displaystyle x$ este număr real pentru care $\displaystyle \sin x+\cos x= \sqrt{2}$ , atunci $\displaystyle \operatorname{tg} x+\operatorname{ctg} x=2$ .

Subiectul al II-lea

determinanțimatrici

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2x \\ -2x & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ , unde $\displaystyle x$ este număr real.

Subiectul al II-lea

aritmetică modularălegi de compoziție

Pe mulțimea $\displaystyle \mathbb{Z}_7$ , se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = xy+6x+6y+6$ .

Subiectul al III-lea

derivatefuncțiiinecuații

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=e^{x^2-6x+9}$ .

Subiectul al III-lea

continuitatefuncțiiintegraleprimitive

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = \begin{cases} 3x^2-4x+1, & x \in (-\infty,1) \\ \frac{\ln x}{\sqrt{x}}, & x \in [1,+\infty) \end{cases}$ .

Subiectul I

progresii geometrice

Calculați rația progresiei geometrice $\displaystyle (b_n)_{n ≥ 1}$ , știind că $\displaystyle b_1 = 3$ și $\displaystyle b_4 = 24$ .

Subiectul I

ecuațiifuncții

Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care punctul $\displaystyle A(a,2)$ aparține graficului funcției $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=x^2-2x+3$ .

Subiectul I

logaritmi

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_3(x+1)=\log_3(x-1)+1$ .

Subiectul I

combinatoricănumere naturale

Determinați numărul natural de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu $\displaystyle 7$ .

Subiectul I

geometrie analitică

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,2)$ , $\displaystyle B(5,5)$ și $\displaystyle C(7,10)$ . Arătați că $\displaystyle AC = 2AB$ .

Subiectul I

geometrietrigonometrie

Calculați aria triunghiului $\displaystyle MNP$ , știind că $\displaystyle MN=4$ și $\displaystyle m(\angle N) = m(\angle P) = 75^\circ$ .

Subiectul al II-lea

determinanțimatricisisteme de ecuații liniare

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ , $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 5 & -7 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Subiectul al II-lea

ecuațiilegi de compozițielogaritmi

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = xy - 2(x+y) + 6$ .

Subiectul al III-lea

derivatefuncțiilimite de funcțiimonotonie

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=x^3-6x+10$ .

Subiectul al III-lea