a) Arătați că $\displaystyle \det(A(3)) = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle A(2017+x) + A(2017-x) = 2A(2017)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \det(A(2) + mA(1)) = 0$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = 2(x+3)(y+3) - 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că $\displaystyle 7 \ast 8 = 98 \ast 2017$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x \ast x = 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)-f(3)}{x-3} = 0$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (2, +\infty)$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{e} (f(x)-\ln x)dx$.

b) Arătați că $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e} f(x)F(x)dx = \frac{e^2}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2,3)) = 12$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(n,n^2)) \ge 0$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care inversa matricei $\displaystyle B = A(x,0) \cdot A(x,0)$ este matricea $\displaystyle A(x,0)$.

a) Arătați că $\displaystyle f(1) = 0$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$, $\displaystyle n \ge 3$.

b) Arătați că, dacă $\displaystyle n$ este număr natural impar, $\displaystyle n \ge 3$, atunci polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu $\displaystyle X^2 - 1$.

c) Arătați că, pentru orice număr natural $\displaystyle n$, $\displaystyle n \ge 5$, polinomul $\displaystyle f$ nu are rădăcini în mulțimea $\displaystyle \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-x^2}{x^2 + 1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) + g(x) = \frac{\pi}{2}$ pentru orice număr real $\displaystyle x$, unde $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \text{arctg } x + x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(\sqrt{x})}{e^{-x}} dx = \frac{e-1}{e}$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle (0, +\infty)$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_n^{n+1} f(x) dx$. Demonstrați că șirul $\displaystyle (I_n)_{n \ge 1}$ este convergent.