a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-2x) dx$.

b) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = e^x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_0^a f(x)dx = 1 + \frac{2a^3}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle A(B-A) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -12 \end{pmatrix}$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$, știind că $\displaystyle A \cdot X = B$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x*x)*x=1$.

c) Determinați numerele naturale nenule $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n*n*n*n<3$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = x(x+1)(3x+1), x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f'(x)}{x^3} = 3$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge -\frac{4}{27}$, pentru orice $\displaystyle x \in [-1, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^2-1)dx = \frac{1}{2}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+x+2017$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=2$ are aria egală cu $\displaystyle n^2-\frac{7}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \Delta(0,2)=-2$.

b) Arătați că $\displaystyle \Delta(x,y)=(x-1)(y-1)(y-x)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Demonstrați că numărul $\displaystyle \Delta(m,n)$ este divizibil cu $\displaystyle 2$, pentru orice numere întregi $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$.

a) Calculați $\displaystyle A(0)+A(2)$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a)A(b)=A(2ab-a-b+1)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Arătați că $\displaystyle A\left(\frac{1}{2}\right)A\left(\frac{3}{2}\right)A\left(\frac{5}{2}\right)\dots A\left(\frac{2017}{2}\right)=A\left(\frac{1}{2}\right)$.