a) Calculați $\displaystyle \det A$.

b) Arătați că $\displaystyle (A-I_3)(A-I_3)(A-I_3) = O_3$, unde $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle O_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Rezolvați ecuația matriceală $\displaystyle AX = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = (x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Calculați $\displaystyle 0 * 1 * 2 * 3$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle a * a * 2016 = 2016$.

a) Calculați $\displaystyle \lim\limits_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{2017}{2016} \le f(x) \le 2$, pentru orice $\displaystyle x \in [1,2016]$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{2}\left(f(x)+3x^{2}-2\right)dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(f(x)-x^{3}+3x^{2}+x\right)e^{x}\,dx = 2e-1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{1-a}^{1+a} f(x)\,dx = 0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(2))$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x)+B(x)) = \det(B(x))$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ și $\displaystyle p$, știind că $\displaystyle A(n)B(p)=B(3)$.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle P(1)=0$.

b) Pentru $\displaystyle a=6$, determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle P(X)$ la polinomul $\displaystyle X^2+5X+3$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a \in (-4,4)$, atunci polinomul $\displaystyle P(X)$ nu are toate rădăcinile reale.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=2018(x^{2017}+1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că punctul $\displaystyle A(a,2020)$ aparține tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ care trece prin punctul de abscisă $\displaystyle x=0$ situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are exact două soluții reale distincte.

a) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} (x^2+2x+2) dx$.

b) Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1}+2I_n+2I_{n-1} = \frac{1}{n+1}$, pentru orice număr natural $\displaystyle n, n \ge 2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n I_n = \frac{1}{5}$.