a) Arătați că $\displaystyle \det A=0$.

b) Verificați dacă $\displaystyle A\cdot(A+I_2)=O_2$, unde $\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0 & 0 \ 0 & 0\end{pmatrix}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \det(B)=0$, unde $\displaystyle B=A\cdot A+mI_2$.

a) Arătați că $\displaystyle P(-1)=0$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la polinomul $\displaystyle X^2+3X+2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{1}{x_1x_2}+\frac{1}{x_2x_3}+\frac{1}{x_3x_1}=-\frac{1}{4}$, unde $\displaystyle x_1,x_2,x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=3(x-2)(x+2)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle -16\le f(x)\le 16$, pentru orice $\displaystyle x\in [-2,2]$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1(f(x)-3x^2-1)dx$.

b) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=2$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Demonstraţi că $\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinaţi numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a\ne -1$, ştiind că $\displaystyle A\left(\frac{1}{1\cdot 2}\right) \cdot A\left(\frac{1}{2\cdot 3}\right) \cdot \dots \cdot A\left(\frac{1}{2016\cdot 2017}\right) = A\left(\frac{a}{a+1}\right)$.

a) Determinaţi numărul real $\displaystyle m$, ştiind că $\displaystyle f(1)=0$.

b) Demonstraţi că $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=0$, pentru orice număr real $\displaystyle m$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3, x_4$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Pentru $\displaystyle m=3$, descompuneţi polinomul $\displaystyle f$ în factori ireductibili în $\displaystyle \mathbb{R}[X]$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că, pentru orice număr real $\displaystyle a\in(-1,1)$, ecuaţia $\displaystyle f(x)=a$ are soluţie unică.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^2(f(x)+e^x)dx=2$.

b) Demonstraţi că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ şi dreptele de ecuaţii $\displaystyle x=1$ şi $\displaystyle x=2$ are aria egală cu $\displaystyle e$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_{-n}^n (f(x)+e^x)dx = 0$.