a) Arătați că $\displaystyle \det(M(1))=4$.

b) Arătați că $\displaystyle M(x)\cdot M(1)=M(4x+1)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle M(x)\cdot M(1)=M(1)\cdot M(x)$.

a) Arătați că $\displaystyle x\circ y=5(x+2)(y+2)-2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numărul întreg $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle m\circ m=m$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x\circ x)\circ x = -2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x^2-x-2}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x\in(1,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{x^2+1}{x-1}+\ln(x-1)\ge 5$, pentru orice $\displaystyle x\in(1,\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1}(6x^2+1)f(x)dx=\frac{11}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(f(x)-\frac{4}{6x^2+1}\right)dx=\frac{\ln 5}{6}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x+4}{f(x)}e^{2x}dx=m(e^2-1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 5$.

b) Arătați că $\displaystyle 2A - B(2) = 2B(0)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B(x) - B(1) - (x+1)A) = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ 1 = -4$.

b) Arătați că $\displaystyle e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle m \circ (3-m) < 3$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 6x^2(x-1)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)+3x^2}{x^3+4} = 2$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -32 \le 2x^3 - 3x^2 + \frac{1}{16}$ pentru orice $\displaystyle x \in [0,2]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)+3xe^x)dx = \frac{1}{4}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 xf(x^2)dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f'(x)-x}{f(x)-x^2}dx = a \ln\left(e+\frac{1}{2}\right)$.