Arătați că $\displaystyle (-2) * 2 = 2 \implies -2+2 = 2$.

Arătați că legea de compoziție "," o " este comutativă.

Demonstrați că $\displaystyle x * (y+5) - 18 = xy$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care care $\displaystyle x * (-x) = 7$.

Demonstrați că $\displaystyle ((−x)=y) * ((x+y)=28)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Determinați perechile $\displaystyle (a,b)$ de numere întregi pentru care $\displaystyle a * b = -19$.

Arătați că $\displaystyle det(A)=0$.

Calculați $\displaystyle A \cdot A$.

Calculați $\displaystyle X(1) = I_2 - A$, deci $\displaystyle X(-1) + X(-1) + A = 2I_2$.

Demonstrați că $\displaystyle X(A) - X(-1) = A^2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle X(a)$ nu este inversabilă.

Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle det(X(a^2)) \le 10$.

Aflați câtă media aritmetică a numerelor $\displaystyle a=20-\sqrt{21}$ și $\displaystyle b=22+\sqrt{21}$ este egală cu 21.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x-1$ și $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=3-x$. Arătați că $\displaystyle f(a)+g(a)=2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{7x-6}=x$.

Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, au cifrele elemente ale mulțimii $\displaystyle \{1,2,3,4\}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(6,0)$ și $\displaystyle B(6,6)$. Arătați că triunghiul $\displaystyle AOM$ este isoscel, unde punctul $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle OB$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, astfel încât $\displaystyle AC=4$ și măsura unghiului $\displaystyle B$ este egală cu $\displaystyle 60^\circ$. Arătați că înălțimea din vârful $\displaystyle A$ a triunghiului $\displaystyle ABC$ are lungimea egală cu 2.