a) Calculați $\displaystyle \det A$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle p$ pentru care $\displaystyle A \cdot A = pA$.

c) Determinați matricea $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, știind că $\displaystyle \det(A+B)=0$, unde $\displaystyle b$ este un număr real.

a) Calculați $\displaystyle 1 \circ 2015$.

b) Arătați că $\displaystyle x \circ y = -(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^x \circ 5^x = 1$.

a) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x)$.

b) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{-3(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

c) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$.

a) Calculați $\displaystyle \int_1^2 x^3 dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)-x^3)dx = 0$.

c) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g:[1;2] \to \mathbb{R}$, definită prin $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-x^3}{x^3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(B(0))=1$.

b) Arătați că $\displaystyle B(x)+B(y)=2B\left(\frac{x+y}{2}\right)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(x^2+1)B(x^2+1)=B(x^2+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle (-3)\circ 3 = 3$.

b) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n \circ 11 = n$.

c) Calculați $\displaystyle 1 \circ 2 \circ 3 \circ \dots \circ 2015$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x(x-2)-3}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x \in (1,+\infty)$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle (1,+\infty)$.

c) Determinați coordonatele punctului situat pe graficul funcției $\displaystyle f$, în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=3x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{e^x}dx=e(e-1)$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=0$.

c) Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n \ge 2$, se consideră numărul $\displaystyle I_n=\int_0^1 x^n e^x dx$. Arătați că $\displaystyle I_n+(n+1)I_{n-1}=e$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \ge 2$.