a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1,1))=3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a,b)\cdot A(b,a))=(a^2+b^2)^2$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \det(A(m,n))=1$.

a) Pentru $\displaystyle m=95$, arătați că $\displaystyle f(1)=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle x_1(x_1-x_2)+x_2(x_2-x_3)+x_3(x_3-x_1)=0$, unde $\displaystyle x_1$, $\displaystyle x_2$ și $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle f$, știind că acestea sunt numere reale în progresie aritmetică.

a) Arătați că $\displaystyle f'(0)=0$.

b) Demonstrați că oricare două tangente la graficul funcției $\displaystyle f$ sunt concurente.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^x \ge x^2(x^2-x+1)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^3 \left(f(x)-\frac{9}{x}\right)dx=4$.

b) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{2}{x^2+9}$ axa Ox și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=9$ are aria egală cu $\displaystyle 2\ln 3$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_1^{\sqrt{3}} f(x)\operatorname{arctg} x dx = \frac{5\pi}{12} + \frac{3\sqrt{3}-a}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 4$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(x) \cdot B(-x) + B(x) = A$.

c) Rezolvați în $\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ ecuația $\displaystyle B(1) \cdot X = A$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 \circ \frac{1}{3} = \frac{82}{9}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y \ge 2$, pentru orice $\displaystyle x, y \in M$.

c) Determinați $\displaystyle a \in M$, pentru care $\displaystyle a^2 \circ \frac{1}{a^2} = 2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 3(x-2)(x+2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 15$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -13 \le f(x) \le 19$, pentru orice $\displaystyle x \in [-2, 2]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - x^3 - 1) dx = 0$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 x^{2020} (f(x) - x - 1) dx$.

c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g : [1, 2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, este egal cu $\displaystyle \pi \left( 2 \ln 2 + \frac{3}{2} \right)$.