Se dau vectorii $\displaystyle \vec{v_1} = a\vec{i} + 2\vec{j}$ şi $\displaystyle \vec{v_2} = 8\vec{i} + a\vec{j}$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinaţi $\displaystyle a$ pentru care vectorii sunt coliniari.

5. Calculați $\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b}$, știind că $\displaystyle |\vec{a}|=2$, $\displaystyle |\vec{b}|=3$ și unghiul vectorilor $\displaystyle \vec{a}$ și $\displaystyle \vec{b}$ are măsura $\displaystyle \frac{\pi}{3}$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ cu $\displaystyle AB=AC=6\sqrt{3}$ și $\displaystyle m(\sphericalangle A)=120^\circ$. Calculați lungimea vectorului $\displaystyle \vec{AC}-\vec{AB}$.

În triunghiul $\displaystyle ABC$, punctele $\displaystyle M, N$ și $\displaystyle P$ sunt mijloacele laturilor $\displaystyle BC, AC$, respectiv $\displaystyle AB$. Arătați că $\displaystyle \vec{AM}+\vec{BN}+\vec{CP}=\vec{0}$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ astfel încât $\displaystyle \vec{AB}=4\vec{i}+3\vec{j}$, $\displaystyle \vec{AC}=4\vec{i}-9\vec{j}$. Determinați lungimea medianei din $\displaystyle A$.

Se consideră punctul $\displaystyle D$ în planul triunghiului $\displaystyle ABC$ astfel încât $\displaystyle \vec{2DB} = \vec{AB} + \vec{DC}$. Arătați că patrulaterul $\displaystyle ADBC$ este paralelogram.

5. În sistemul ortogonal de axe $\displaystyle xOy$ se consideră vectorii $\displaystyle \vec{a}=3\vec{i}+2\vec{j}$, $\displaystyle \vec{b}=(m+2)\vec{i}-m\vec{j}$, $\displaystyle \vec{c}=2\vec{i}-3\vec{j}$. Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care unghiul format de vectorii $\displaystyle \vec{a}$ și $\displaystyle \vec{b}$ este egal cu unghiul format de vectorii $\displaystyle \vec{b}$ și $\displaystyle \vec{c}$.

Să se determine numărul real $\displaystyle a$, pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u}=2\vec{i}+(a+3)\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=(a+1)\vec{i}+3\vec{j}$ sunt coliniari.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A, B$ și $\displaystyle C$, astfel încât $\displaystyle A(1,3), B(2,5)$ și $\displaystyle \vec{AC} = 2 \cdot \vec{AB}$. Să se determine coordonatele punctului $\displaystyle C$.

Se consideră vectorii $\displaystyle \vec{v_1} = 3\vec{i} + \vec{j}$, $\displaystyle \vec{v_2} = \vec{i} - 2\vec{j}$. Să se calculeze modulul vectorului $\displaystyle \vec{v_1} - 3\vec{v_2}$.

Aflați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u}$ și $\displaystyle \vec{v}$ au același modul, unde $\displaystyle \vec{u}=3\vec{i}-5\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=(a+1)\vec{i}-(a-3)\vec{j}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,1)$, $\displaystyle B(4,5)$ și $\displaystyle C(8,3)$. Determinați măsura unghiului dintre vectorii $\displaystyle \vec{AB}$ și $\displaystyle \vec{AC}$.

5. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, astfel încât vectorii $\displaystyle \vec{AB}+\vec{AC}$ şi $\displaystyle \vec{AB}-\vec{AC}$ au aceeaşi lungime. Arătați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic.

Patrulaterul $\displaystyle ABCD$ are lungimea laturii $\displaystyle AB = \sqrt{2}$. Să se calculeze $\displaystyle \vec{AB} \cdot \vec{BD}$.

Fie $\displaystyle ABCD$ un paralelogram și punctele $\displaystyle E$ și $\displaystyle F$ astfel încât $\displaystyle \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{ED}$ și $\displaystyle \overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FE}$. Să se demonstreze că punctele $\displaystyle A$, $\displaystyle F$, $\displaystyle C$ sunt coliniare.

5. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u} = (a-2)\vec{i} - 2\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v} = 3\vec{i} + 2\vec{j}$ sunt coliniari.

Determinați $\displaystyle m \in \mathbb{R}$ astfel încât vectorii $\displaystyle \vec{u} = 2\vec{i} - \vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v} = (m-1)\vec{i} + (2m-1)\vec{j}$ să fie coliniari.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-2, 1)$, $\displaystyle B(1, 3)$ și $\displaystyle C(6, 4)$. Arătați că vectorii $\displaystyle \vec{AB}$ și $\displaystyle \vec{CO}$ au aceeași direcție.

5. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, astfel încât vectorii $\displaystyle \vec{AB}+\vec{AC}$ și $\displaystyle \vec{AB}-\vec{AC}$ au aceeași lungime. Arătați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic.

5. Fie $\displaystyle ABCD$ un pătrat de latură $\displaystyle 2\sqrt{2}$. Calculați modulul vectorului $\displaystyle \vec{AB} + \vec{DA}$.