Se consideră punctele $\displaystyle A, B, C$ și $\displaystyle D$ astfel încât $\displaystyle \vec{2AD} = \vec{BD} + \vec{AC}$. Demonstrați că $\displaystyle \vec{AB} = \vec{DC}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1, a)$ și $\displaystyle B(-2,5)$, unde $\displaystyle a$ este un număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că mijlocul segmentului $\displaystyle AB$ aparține dreptei $\displaystyle y = 2x+3$.

Se consideră paralelogramul $\displaystyle ABCD$ cu $\displaystyle AB=4$, $\displaystyle BC=6$ și măsura unghiului $\displaystyle ABC$ de $\displaystyle 120^{\circ}$. Determinați modulul vectorului $\displaystyle \vec{AM}$, unde punctul $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle BD$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră paralelogramul $\displaystyle MNPQ$ cu $\displaystyle M(2,3)$, $\displaystyle N(5,4)$ şi $\displaystyle P(4,0)$. Determinaţi ecuaţia dreptei $\displaystyle MQ$.

Se consideră vectorii $\displaystyle \vec{a}=2\vec{i}+m\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{b}=5\vec{i}-(m^2+1)\vec{j}$, unde $\displaystyle m$ este număr real. Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care vectorii $\displaystyle \vec{a}$ și $\displaystyle \vec{b}$ sunt coliniari.

Se consideră vectorii $\displaystyle \vec{u} = 2\vec{i} + m\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v} = (m-4)\vec{i} + 2\vec{j}$, unde $\displaystyle m$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \vec{u} \perp \vec{v}$.

În sistemul cartezian $\displaystyle x O y$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,3), B(-1,0)$ și $\displaystyle C(a, a+2)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care vectorii $\displaystyle \overrightarrow{O C}$ și $\displaystyle \overrightarrow{A B}$ sunt coliniari.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ și punctele $\displaystyle M, N$ și $\displaystyle P$ mijloacele segmentelor $\displaystyle BC, BM$, respectiv $\displaystyle CM$. Arătați că $\displaystyle \vec{AM}+\vec{AN}+\vec{AP}=\frac{3}{2}(\vec{AB}+\vec{AC})$.

Se consideră numărul real $\displaystyle a$, pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u}=\vec{i}+a\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=8\vec{i}+2\vec{j}$ sunt coliniari.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(3,0)$, $\displaystyle N(8,3)$ și $\displaystyle P(6,3)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle Q$, știind că $\displaystyle \vec{MN} + \vec{MP} = \vec{MQ}$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, punctul $\displaystyle D$ mijlocul laturii $\displaystyle AC$ și punctul $\displaystyle M$ astfel încât $\displaystyle \vec{MA}+2\vec{MB}+3\vec{MC}=\vec{0}$. Arătați că dreptele $\displaystyle MD$ și $\displaystyle AB$ sunt paralele.

5p 5. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ și punctul $\displaystyle D$ mijlocul segmentului $\displaystyle BC$. Arătați că, pentru orice puncte $\displaystyle E$ și $\displaystyle F$ astfel încât $\displaystyle \vec{AE} = \vec{FD}$, are loc relația $\displaystyle 2(\vec{EB} + \vec{FC}) = \vec{AB} + \vec{AC}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,4)$ și $\displaystyle B(3,6)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle M$ mijlocul segmentului $\displaystyle AB$.

Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care vectorii $\displaystyle \vec{u}=a\vec{i}+(a-1)\vec{j}$ și $\displaystyle \vec{v}=\vec{i}+2\vec{j}$ sunt coliniari.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctul $\displaystyle A(2,1)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle B$ pentru care $\displaystyle \vec{AB}=2\vec{OA}$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,4)$, $\displaystyle B(4,6)$ și $\displaystyle C(4,2)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle D$, știind că $\displaystyle \vec{OD}= (1/2)(\vec{AB}+\vec{AC})$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,2)$, $\displaystyle B(7,4)$ și $\displaystyle C$, astfel încât $\displaystyle \vec{AB} = 2\vec{AC}$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle D$ pentru care $\displaystyle \vec{OD} = \vec{CB}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,5)$ și $\displaystyle B(3,4)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle C$ pentru care $\displaystyle \vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OB}$.

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,2)$, $\displaystyle B(a,0)$ și $\displaystyle C(1,b)$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle \vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OA}$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(6,4)$ și $\displaystyle B(1,3)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle C$ pentru care $\displaystyle \vec{2BC}=\vec{OA}$.