5p 6. Calculați măsura unghiului $\displaystyle A$ al triunghiului ascuțitunghic $\displaystyle ABC$, știind că $\displaystyle 4 \mathcal{A}_{ABC} = AB \cdot AC$.

Determinați $\displaystyle x \in (0, \pi)$, știind că $\displaystyle \sin x - \cos x = \sqrt{2}$.

6. Determinați $\displaystyle x \in (0, \pi)$, știind că $\displaystyle \sin 2x - 3\sin x - 2\cos x + 3 = 0$.

Se consideră triunghiul ascuțitunghic $\displaystyle ABC$ cu $\displaystyle BC=R$, unde $\displaystyle R$ este raza cercului circumscris triunghiului. Calculați măsura unghiului $\displaystyle A$ al triunghiului $\displaystyle ABC$.

6. Calculați $\displaystyle \cos x$, știind că $\displaystyle x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ și $\displaystyle 2(\cos^4 x - \sin^4 x) = 1$.

6. Arătaţi că, dacă $\displaystyle ABC$ este un triunghi oarecare, atunci $\displaystyle \cos A < \frac{1}{2}\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AB}\right)$.

Arătați că, dacă $\displaystyle x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ și $\displaystyle \sin x + \cos x = \sqrt{2}$, atunci $\displaystyle \sin x - \cos x = -1$.

Arătați că, dacă $\displaystyle x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ astfel încât $\displaystyle \sin x + \cos x = \sqrt{2}\cos x$, atunci $\displaystyle x=\frac{\pi}{8}$.

Se consideră $\displaystyle R$ raza cercului circumscris triunghiului $\displaystyle ABC$ și $\displaystyle r$ raza cercului înscris în triunghiul $\displaystyle ABC$. Știind că $\displaystyle \sin A + \sin B + \sin C = \frac{1}{r}$, arătați că aria triunghiului $\displaystyle ABC$ este egală cu $\displaystyle 1$.

6. Arătați că $\displaystyle \sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ + \sin 30^\circ - 2 \sin^2 45^\circ = 1$.

6. Arătați că $\displaystyle \sin 60^{\circ} - \cos 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.

Arătați că $\displaystyle \left(\sin 60^{\circ} - \cos 60^{\circ}\right)\left(\sin 60^{\circ} + \cos 60^{\circ}\right) = \frac{1}{2}$.

6. Calculați $\displaystyle \left(\cos 30^\circ - \sin 30^\circ\right)^2 + \cos 30^\circ = 1$.

6. Calculați $\displaystyle 4 \sin 60^\circ \cdot \cos 60^\circ - \frac{4}{\sqrt{3}}\sin 60^\circ \cdot \cos 60^\circ + 1$.

Arătați că $\displaystyle 16 \sin^2 60^\circ \cos^2 60^\circ + \sin^2 60^\circ - \sqrt{3} \cos 60^\circ = 3$.

6. Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$, știind că $\displaystyle m(\angle B)=45^\circ$, $\displaystyle m(\angle C)=45^\circ$ și $\displaystyle BC=5\sqrt{2}$.

Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$, știind că $\displaystyle m(\sphericalangle B) = 45^{\circ}$, $\displaystyle AB=5$ și $\displaystyle AC=5$.

Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$, știind că $\displaystyle m(\angle A) = 60^{\circ}$, $\displaystyle AB = 8$ și $\displaystyle AC = 8$.

6. Arătați că $\displaystyle \sin^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ - \cos 0^\circ = 0$.

Calculați $\displaystyle E = \sin 45^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} + \cos 60^{\circ} - \sin^2 45^{\circ} + \cos^2 45^{\circ}$.