Calculați lungimea laturii $\displaystyle AB$ a triunghiului $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, știind că $\displaystyle BC = 15$ și $\displaystyle \sin C = \frac{3}{5}$.

6. Calculați sinusul unghiului $\displaystyle D$ al triunghiului $\displaystyle DEF$, știind că semiperimetrul triunghiului $\displaystyle DEF$ este egal cu 6, $\displaystyle DE=4$ și $\displaystyle DF=5$.

Calculați $\displaystyle \sin(x+7\cos x)^2 + (7\sin x-\cos x)^2-50$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

6. Arătați că $\displaystyle \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) - \cos \left(x-\frac{\pi}{4}\right) = 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Arătați că $\displaystyle \sin 30^\circ + \sin^2 45^\circ + \sin^2 60^\circ = \frac{3}{2}$.

6. Arătați că $\displaystyle \text{tg }x + \text{ctg }x = \frac{5}{2}$, știind că $\displaystyle \sin x = \frac{1}{\sqrt{5}}$ și $\displaystyle x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.

Demonstrați că $\displaystyle (\sin x + \cos x)^2 - \sin 2x = 1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Arătați că $\displaystyle \sin x + 3\cos x = 2\sqrt{2}$, știind că $\displaystyle \operatorname{tg} x = 1$ și $\displaystyle x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.

Arătați că $\displaystyle \sqrt{2},\,\sin 45^{\circ},-\left(\sin 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}\right)=\frac{1}{2}$.

6. Calculați lungimea razei cercului circumscris $\displaystyle \triangle ABC$, știind că $\displaystyle BC=4$, $\displaystyle B = \frac{\pi}{3}$ și $\displaystyle C = \frac{\pi}{6}$.

6. Calculați lungimea laturii $\displaystyle BC$ a triunghiului $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, știind că $\displaystyle AB=8$ și $\displaystyle m(\angle C)=30^{\circ}$.

Determinați numărul real $\displaystyle a$, pentru care ecuația $\displaystyle x\sqrt{3(x+1)}\cdot\sqrt{3(x+1)} - \sqrt{12} = 0$ are o singură soluție.

Calculați $\displaystyle \sin(\pi - x) ".\cos(\pi + x) - \sin(\pi + x) ".\cos(\pi - x)$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Arătați că $\displaystyle 2 \sin 45^{\circ} \cos 45^{\circ} - \sin^2 60^{\circ} - \cos^2 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.

Calculați aria paralelogramului $\displaystyle ABCD$, știind că $\displaystyle AB=6$, $\displaystyle AC=10$ și $\displaystyle m(\measuredangle BAC)={\pi}/{6}$.

6. Calculați $\displaystyle \sin x$, știind că $\displaystyle 2x = \frac{\pi}{2}$, atunci $\displaystyle \left(\sin x + \cos x\right)^2 = \frac{3}{2}$.

5p 6. Arătați că $\displaystyle \sin 30^\circ + \sin 45^\circ \cdot \cos 60^\circ - \cos 45^\circ = 0$.

Se consideră $\displaystyle E(x) = \sin^3 x - \cos^3 x$, unde $\displaystyle x$ este un număr real. Arătați că numărul $\displaystyle E(\frac{\pi}{4})$ este egal cu $\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Se consideră triunghiul dreptunghic $\displaystyle ABC$ cu ipotenuza $\displaystyle BC=4$, punctele $\displaystyle D$ și $\displaystyle E$ mijloacele laturilor $\displaystyle AB$, respectiv $\displaystyle BC$. Știind că $\displaystyle DE=1$, calculați $\displaystyle m(\angle B)$.