În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,1)$, $\displaystyle B(4,5)$ și $\displaystyle C(8,3)$. Determinați măsura unghiului dintre vectorii $\displaystyle \vec{AB}$ și $\displaystyle \vec{AC}$.

Într-un triunghi $\displaystyle ABC$ se cunosc $\displaystyle BC=14$ cm, $\displaystyle AC=13$ cm și $\displaystyle AB=15$ cm. Calculați sin $\displaystyle B$.

6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ în care $\displaystyle \sin 30^\circ \cdot \sin A = \cos 45^\circ \cdot \cos A$. Calculați $\displaystyle \operatorname{tg} A$.

6. Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle x$, are loc egalitatea $\displaystyle \cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+\cos^2(x+\pi)=1$.

6. Să se calculeze raza cercului circumscris triunghiului $\displaystyle ABC$, știind că $\displaystyle BC=5$ și $\displaystyle \cos A = \frac{12}{13}$.

Arătați că $\displaystyle \sqrt{3}\cdot\cos 30^\circ+\sqrt{2}\cdot\sin 45^\circ=\frac{5}{2}$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle MNP$ în care $\displaystyle \cos M = \frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\displaystyle MN = MP = 7\sqrt{2}$. Calculați aria triunghiului.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle BC = 10$, $\displaystyle \angle C = 30^\circ$. Calculați lungimea medianei corespunzătoare laturii $\displaystyle AC$.

6. În triunghiul $\displaystyle ABC$ se cunosc $\displaystyle AB = 3\sqrt{2}$, $\displaystyle BC = 3$ și $\displaystyle AC = 3\sqrt{2}$. Determinați măsura unghiului $\displaystyle A$.

Se consideră $\displaystyle x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ astfel încât $\displaystyle \cos x = \frac{3}{5}$. Arătați că $\displaystyle \operatorname{tg} x = \frac{4}{3}$.

6. Știind că $\displaystyle x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ și $\displaystyle \operatorname{tg}x = -3$, calculați $\displaystyle \sin 2x + \cos 4x$.

6. Triunghiul $\displaystyle ABC$ are $\displaystyle AC = 5\sqrt{6}$, $\displaystyle m \measuredangle B = 45^\circ$, $\displaystyle m \measuredangle C = 60^\circ$. Să se calculeze lungimea laturii $\displaystyle AB$.

6. În triunghiul ascuțitunghic $\displaystyle ABC$ se cunosc $\displaystyle AB = 4\sqrt{3}$, $\displaystyle BC = 6\sqrt{2}$ și $\displaystyle C = \frac{\pi}{4}$. Demonstrați că $\displaystyle A = \frac{\pi}{3}$.

5p 6. Se consideră $\displaystyle a, b \in \mathbb{R}$ astfel încât $\displaystyle a+b = \frac{\pi}{12}$. Arătați că $\displaystyle 2\cos a \cos b = \sin 2b + \sqrt{3}\cos 2b$.

Arătați că $\displaystyle 3 \sin 30^\circ + \sqrt{3} \cos 30^\circ - \text{tg} 45^\circ = 2$.

Triunghiul $\displaystyle ABC$ are aria $\displaystyle S = 9$, $\displaystyle AC = 6$ și $\displaystyle BC = 2\sqrt{3}$. Aflați măsura unghiului $\displaystyle C$.

Triunghiul $\displaystyle ABC$ are $\displaystyle AB=5$, $\displaystyle AC=12$, $\displaystyle BC=13$. Arătați că $\displaystyle R=\frac{13}{4}r$, unde $\displaystyle R$ este raza cercului circumscris și $\displaystyle r$ este raza cercului înscris în triunghiul $\displaystyle ABC$.

Arătați că $\displaystyle (tg 30^\circ + tg 60^\circ) \cdot \sin 60^\circ = 2$.

5p Determinați măsura unghiului $\displaystyle C$ a triunghiului $\displaystyle ABC$, știind că $\displaystyle BC = 4$, $\displaystyle AB = 2\sqrt{2}$ și $\displaystyle m(\angle BAC) = 135^\circ$.

Arătați că $\displaystyle \sin \frac{ \pi}{6} - \cos \frac{ \pi}{3} - \sin \frac{5 \pi}{6} = 0$.