Se consideră unghiul $\displaystyle ABCD$ cu $\displaystyle AB=5$ și $\displaystyle BD=6$. Calculați $\displaystyle \sin(\angle ADB)$.

6. Arătați că $\displaystyle 2\sqrt{2} \operatorname{tg} x+1=0$, știind că $\displaystyle \sin x = \frac{1}{3}$ și $\displaystyle x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi \right)$.

6. Dacă $\displaystyle x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ și $\displaystyle \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, arătați că $\displaystyle \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 0$.

5p 6. Știind că $\displaystyle \operatorname{tg}\alpha = \sqrt{3}$ și $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}$, arătați că $\displaystyle \frac{\sin\alpha - \cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha} = 2 - \sqrt{3}$.

Arătați că $\displaystyle \sin(a+b)=1$, știind că $\displaystyle a,b \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, $\displaystyle a \ne b$ și $\displaystyle \sin a + \cos a = \sin b + \cos b$.

În triunghiul $\displaystyle ABC$ măsurile unghiurilor $\displaystyle A$ și $\displaystyle B$ sunt de $\displaystyle 45^\circ$, respectiv $\displaystyle 105^\circ$ și $\displaystyle AB=3\sqrt{3}$. Calculați lungimea laturii $\displaystyle BC$.

Arătați că, dacă $\displaystyle ABC$ este un triunghi oarecare, atunci $\displaystyle \cos A < \frac{1}{2}\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AB}\right)$.

6. Aflați numerele reale $\displaystyle x \in [0, \pi]$ pentru care $\displaystyle \sin 2x = \sin x$.

6. Dacă $\displaystyle \alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ și $\displaystyle \sin \alpha = \frac{1}{3}$, calculați $\displaystyle \text{tg}\alpha$.

Calculați $\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)$ pentru $\displaystyle x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, știind că $\displaystyle \sin x + \cos x = \sqrt{2}$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ cu măsura unghiului $\displaystyle C$ de $\displaystyle 150^\circ$ și latura $\displaystyle AB=6$. Calculați raza cercului circumscris triunghiului $\displaystyle ABC$.

Arătați că $\displaystyle \sin x+\sqrt{3}\cos x\leq 2$, oricare ar fi $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului $\displaystyle ABC$, știind că $\displaystyle B=\frac{3\pi}{4}$ și $\displaystyle AC = \sqrt{2}$.

6. Arătați că $\displaystyle \cos 30^\circ + \cos 120^\circ = 0$.

Determinați $\displaystyle x \in (0, 2\pi)$ pentru care $\displaystyle \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x - \cos x$.

Calculați măsura unghiului $\displaystyle A$ al triunghiului ascuțitunghic $\displaystyle ABC$, știind că $\displaystyle 4A_{ABC} = AB \cdot AC$.

Arătați că $\displaystyle \sin 30^\circ + \cos 120^\circ = 0$.

Știind că $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ astfel încât $\displaystyle \sin a + \cos a = 1$, arătați că $\displaystyle \operatorname{tg}\left(a+\frac{\pi}{4}\right)=1$.

În triunghiul ABC dreptunghic în A, se cunosc $\displaystyle \sin B = \frac{3}{5}$ și ipotenuza $\displaystyle BC = 25$. Determinați aria triunghiului.