6. Arătați că $\displaystyle 4(\sin 60^\circ)^2 - (\sin 45^\circ)^2 - 2(\sin 30^\circ)^2 = 2$.

6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle C = \frac{\pi}{6}$. Raza cercului circumscris triunghiului $\displaystyle ABC$ este egală cu 4. Arătați că $\displaystyle AB = 4$.

Se consideră expresia $\displaystyle E(x) = (1+\text{tg}^2x)\sin^2x+\text{cos}3x$, unde $\displaystyle x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$. Arătați că $\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right)=1$.

6. Arătați că $\displaystyle \sin 45^\circ \cdot \sin 30^\circ - \sqrt{2} \cos 60^\circ=0$.

6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle \mathrm{tg}\,B=\frac{3}{5}$ și aria egală cu $\displaystyle 24$. Arătați că $\displaystyle AC=4.$

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle AB=15$ și măsura unghiului $\displaystyle B$ egală cu $\displaystyle 30^\circ$. Arătați că $\displaystyle BC=10\sqrt{3}$.

5p 6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle AC=6$ și $\displaystyle B=\frac{\pi}{3}$. Arătați că aria triunghiului $\displaystyle ABC$ este egală cu $\displaystyle 6\sqrt{3}$.

Arătaţi că $\displaystyle 3\sin^2 30^\circ + 2\cos 60^\circ - \sin 60^\circ = 1$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle AC=6$ și $\displaystyle \operatorname{tg}C=\frac{1}{3}$. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului $\displaystyle ABC$ este egală cu $\displaystyle \sqrt{10}$.

Se consideră expresia $\displaystyle E(x)=\cos x\cdot \sin 3x-\sin 2x$, unde $\displaystyle x$ este număr real. Arătați că $\displaystyle E\left(\frac{\pi}{6}\right)=0$.

6. Se consideră triunghiul $\displaystyle DEF$, dreptunghic în $\displaystyle D$, cu $\displaystyle DE = 3$ și $\displaystyle \sin F = \frac{1}{3}$. Arătați că $\displaystyle DF = 6\sqrt{2}$.

6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle BC=12$ și $\displaystyle C=\frac{\pi}{6}$. Punctul $\displaystyle M$ aparține segmentului $\displaystyle AC$ astfel încât $\displaystyle AM = AC$. Arătați că $\displaystyle BM = 4\sqrt{3}$.

5p 6. Arătați că $\displaystyle 2\sin 60^\circ + \sin 30^\circ - 3\cos 30^\circ = 0$.

6. Determinați măsura unghiului $\displaystyle A$ al unui triunghi $\displaystyle ABC$, știind că $\displaystyle \sin A + \cos A = 0$.

Demonstrați că egalitatea $\displaystyle \operatorname{tg} \frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1+\cos x}$ are loc pentru orice $\displaystyle x \in (-\pi, \pi)$.

Se dă triunghiul $\displaystyle ABC$, cu $\displaystyle AB = 4$ şi $\displaystyle AC = 8$. Calculaţi lungimea laturii $\displaystyle BC$ dacă $\displaystyle \hat{A} = 60^\circ$.

6. Calculați lungimea laturii $\displaystyle AB$ a triunghiului $\displaystyle ABC$, știind $\displaystyle AC = \sqrt{6}$, iar unghiurile $\displaystyle A = \frac{5\pi}{12}$ și $\displaystyle B = \frac{\pi}{4}$.

Dacă $\displaystyle x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ și $\displaystyle \cos x = \frac{12}{13}$, arătați că $\displaystyle \sin x = \frac{5}{13}$.

Calculați $\displaystyle \text{tg}\frac{x}{2}$, știind că $\displaystyle x \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ și $\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}$.