Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle AB=4$ și măsura unghiului $\displaystyle C$ egală cu $\displaystyle 45^\circ$. Arătați că aria triunghiului $\displaystyle ABC$ este egală cu $\displaystyle 8$.

Determinați $\displaystyle x \in [0, \pi]$ pentru care $\displaystyle \sin 2x = 1+\cos 2x$.

5p 6. În triunghiul $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, $\displaystyle AB=6$ și măsura unghiului $\displaystyle C$ este egală cu $\displaystyle 60^{\circ}$. Arătați că $\displaystyle BC=4 \sqrt{3}$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu măsura unghiului $\displaystyle B$ egală cu $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ și $\displaystyle BC=24$. Bisectoarea unghiului $\displaystyle C$ al triunghiului $\displaystyle ABC$ intersectează latura $\displaystyle AB$ în punctul $\displaystyle D$. Determinați lungimea segmentului $\displaystyle CD$.

Calculați $\displaystyle \sqrt{3} \sin 45^{\circ}+2 \sin 30^{\circ}-\sqrt{2} \cos 30^{\circ}$.

Se consideră triunghiul ascuțitunghic $\displaystyle ABC$, cu $\displaystyle AB=5$, $\displaystyle C=\frac{\pi}{4}$ și înălțimea $\displaystyle AD=4$. Arătați că $\displaystyle BC=7$.

Arătați că $\displaystyle \sin 30^\circ \cdot \cos 45^\circ - \frac{1}{2}\sin 45^\circ = 0$.

6. Se consideră $\displaystyle E(x) = 3 \cos^2 x - \frac{1}{2} \sin x$, unde $\displaystyle x$ este număr real. Arătaţi că $\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right)=0$.

Arătați că $\displaystyle \sqrt{2}\cdot(\sin 45^{\circ}+\cos 45^{\circ})- \sin 30^{\circ}=1$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu aria egală cu $\displaystyle 18$ și $\displaystyle B = \frac{\pi}{4}$. Arătați că $\displaystyle AB=6$.

Se consideră expresia $\displaystyle E(x) = 2\sin x \cdot \cos\frac{x}{2} + \left(\sin\frac{3x}{4}\right)^{2}$. Arătați că $\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2$.

Arătați că $\displaystyle \sin 30^{\circ}+\sin 30^{\circ} \cdot \cos 60^{\circ}=1$.

5p 6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle AB=8$ și $\displaystyle \text{tg } C=\frac{\pi}{4}$. Arătați că aria triunghiului $\displaystyle ABC$ este egală cu $\displaystyle 32$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle BC=12$ și $\displaystyle AB = \frac{BC}{2}$. Arătați că aria triunghiului $\displaystyle ABC$ este egală cu $\displaystyle 18\sqrt{3}$.

Arătați că $\displaystyle (\sin 60^\circ + \sin 30^\circ)(\sin 60^\circ - \sin 30^\circ) = \sin^2 45^\circ \cdot \cos 45^\circ$.

6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle AB=5$ şi $\displaystyle BC=5\sqrt{5}$. Arătaţi că $\displaystyle \sin C = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle AC=9$ și $\displaystyle B=\frac{\pi}{3}$. Arătați că $\displaystyle AB=3\sqrt{3}$.

Arătați că $\displaystyle 2(\sin 45^{\circ} + \sin 30^{\circ})(\sin 45^{\circ} - \sin 30^{\circ})=\cos 60^{\circ}$.

6. Se consideră expresia $\displaystyle E(x)=\operatorname{tg}x-4\cos x\cdot \cos x$ , unde $\displaystyle x \in (0, \pi/2)$. Arătați că $\displaystyle E(\pi/3)=0$.

6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle B=\frac{\pi}{6}$ și mediana $\displaystyle AM=4$. Arătați că aria triunghiului $\displaystyle ABC$ este egală cu $\displaystyle 8\sqrt{3}$.