Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, în care măsura unghiului $\displaystyle C$ este egală cu $\displaystyle 30^\circ$ și $\displaystyle AB=3$. Arătați că $\displaystyle BC=6$.

Se consideră expresia $\displaystyle E(x)=\sin 2x-2\operatorname{tg} x - \frac{3}{2}$, unde $\displaystyle x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$. Arătați că $\displaystyle E\left(\frac{\pi}{4}\right)=0$.

Arătați că $\displaystyle (\sin 45^{\circ} - \sin 30^{\circ})(\sin 45^{\circ} + \sin 30^{\circ}) = \frac{1}{4}$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, astfel încât $\displaystyle AC=4$ și măsura unghiului $\displaystyle B$ este egală cu $\displaystyle 60^\circ$. Arătați că înălțimea din vârful $\displaystyle A$ a triunghiului $\displaystyle ABC$ are lungimea egală cu 2.

5p 6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, astfel încât $\displaystyle BC=10$ și $\displaystyle \sin B=2\sin C$. Arătați că lungimea laturii $\displaystyle AB$ este egală cu $\displaystyle 2\sqrt{5}$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ cu $\displaystyle AB=9$, $\displaystyle AC=12$ și $\displaystyle BC=15$. Arătați că $\displaystyle \sin B + \cos C = \frac{7}{5}$.

6. Se consideră $\displaystyle E(x)=\operatorname{tg} x + \sin \frac{3x}{2} - 2\cos \frac{x}{2}$, unde $\displaystyle x\in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$. Arătați că $\displaystyle E\left(\frac{\pi}{3}\right)=1$.

6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, în care $\displaystyle \sin(A+B)+\cos C=1$. Arătați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic.

6. Calculați $\displaystyle \sqrt{3} \cdot \sin 60^\circ - \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ$.

Se consideră triunghiul isoscel $\displaystyle ABC$, cu măsura unghiului $\displaystyle A$ egală cu $\displaystyle 120^\circ$ și $\displaystyle AB = 6$. Arătați că aria triunghiului $\displaystyle ABC$ este egală cu $\displaystyle 9\sqrt{3}$.

6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, cu $\displaystyle AB=8$, măsura unghiului $\displaystyle C$ de $\displaystyle 30^\circ$ și punctul $\displaystyle O$, centrul cercului circumscris triunghiului $\displaystyle ABC$. Determinați distanța de la punctul $\displaystyle O$ la latura $\displaystyle AB$.

6. Lungimea razei cercului circumscris triunghiului $\displaystyle ABC$ este $\displaystyle 5$, iar $\displaystyle BC=10$. Calculați $\displaystyle \sin A$.

6. Arătaţi că $\displaystyle (\operatorname{tg}x+1)(\operatorname{ctg}x-1)=2\operatorname{ctg}2x$, pentru orice $\displaystyle x\in \left(0,\frac{π}{2}\right)$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle BC=16$ și măsura unghiului $\displaystyle B$ egală cu $\displaystyle 30^\circ$. Arătați că aria triunghiului $\displaystyle ABC$ este egală cu $\displaystyle 32\sqrt{3}$.

Arătați că $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 60^{\circ} - \frac{1}{2} \cos 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

6. Se consideră $\displaystyle E(x) = 2\sin x \cos x - \cos x$, unde $\displaystyle x$ este număr real. Arătați că $\displaystyle E\left(\frac{\pi}{6}\right) = 0$.

6. Calculați $\displaystyle \sin 30^\circ + \sqrt{2}\cos 45^\circ + \cos 60^\circ$.

5p Arătați că $\displaystyle (1+2 \cos 60^\circ) \sin 30^\circ = 1$.

Se consideră expresia $\displaystyle E(x)=\sin x+4\cos\frac{x}{3}-2\cos\frac{x}{3}$ unde $\displaystyle x$ este număr real. Arătați că $\displaystyle E\left(\frac{\pi}{2}\right)=4$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle AC=6$ și $\displaystyle \operatorname{tg} C=\sqrt{3}$. Arătați că aria triunghiului $\displaystyle ABC$ este egală cu $\displaystyle 18\sqrt{3}$.