6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle AB = 5$ și $\displaystyle AC = 10$. Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$.

6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle C$. Arătați că $\displaystyle \text{tg }B = \frac{1}{\text{tg }A}$.

6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle BC = 4$ și măsura unghiului $\displaystyle C$ de două ori mai mare decât măsura unghiului $\displaystyle B$. Determinați lungimea laturii $\displaystyle AC$ a triunghiului $\displaystyle ABC$.

Determinați $\displaystyle x \in (0, \pi)$, știind că $\displaystyle (\sin x - \cos x)^2 = 2$.

5p 6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, în care $\displaystyle AC=2$, $\displaystyle BC=4$ și unghiul $\displaystyle A$ are măsura egală cu $\displaystyle 30^\circ$. Arătați că $\displaystyle \sin B = \frac{1}{4}$.

5p 6. Arătați că $\displaystyle \sin 2x = 1$, știind că $\displaystyle \text{tg } x = 1$ și $\displaystyle x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.

6. Se consideră $\displaystyle x \in (0, \frac{\pi}{2})$ astfel încât $\displaystyle \cos x = \frac{\sqrt{15}}{4}$. Arătați că $\displaystyle \sin x = \frac{1}{4}$.

6. Se consideră triunghiul ascuțitunghic $\displaystyle ABC$ în care $\displaystyle \sin 2A - \cos A = \sin A$. Arătați că $\displaystyle A = \frac{\pi}{4}$.

Arătați că $\displaystyle (1+\sin 30^{\circ}) \cos^2 45^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} = 1$.

Se consideră $\displaystyle E(x)=\cos x+\sin x+2\cos 3x$, unde $\displaystyle x$ este număr real. Arătați că $\displaystyle E(\frac{\pi}{4})=0$.

6. Demonstrați că, în orice triunghi $\displaystyle ABC$, are loc relația $\displaystyle AB \cdot AC + BC \cdot AC = 2R(\sin A + \sin B + \sin C)$, unde $\displaystyle R$ este raza cercului circumscris triunghiului.

5p Calculați $\displaystyle \sin 30^\circ \cdot \cos 60^\circ - \cos 120^\circ$.

Calculați lungimea laturii $\displaystyle BC$ a triunghiului $\displaystyle ABC$, știind că $\displaystyle AB = 2$, $\displaystyle AC = 2\sqrt{3}$ și $\displaystyle B = \frac{\pi}{3}$.

Calculați lungimea laturii $\displaystyle AB$ a triunghiului $\displaystyle ABC$, în care $\displaystyle AC=3$ și măsurile unghiurilor $\displaystyle A$ și $\displaystyle B$ sunt de $\displaystyle 30^\circ$, respectiv $\displaystyle 60^\circ$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle AB=3$ și $\displaystyle AC=4$. Se știe că $\displaystyle \sin A < \frac{3}{5}$. Arătați că $\displaystyle \sin B A D=\frac{2}{3}$.

5p 6. Arătați că $\displaystyle (\sin x + \cos x)^2 = 2\cos^2 \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

6. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \sin 30^\circ = \cos 60^\circ \cdot x$.

Se consideră triunghiul isoscel $\displaystyle ABC$, cu $\displaystyle AB=10$ și $\displaystyle \cos A = 0$. Arătați că aria triunghiului $\displaystyle ABC$ este egală cu $\displaystyle 50$.

5p 6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$ cu măsura unghiului $\displaystyle B$ de $\displaystyle 30^\circ$ și $\displaystyle BC=10$. Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$.

Se consideră expresia $\displaystyle E(x) = \sin x + \sin \frac{3x}{2} - \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ unde $\displaystyle x$ este număr real. Arătați că $\displaystyle E(\frac{\pi}{3}) = 0$.