Arătați că dacă $\displaystyle \sin x = \frac{5}{13}$, $\displaystyle x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ și $\displaystyle \cos x = \frac{5}{13}$, atunci $\displaystyle \sin^2 x - \cos^2 x = 0$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ cu $\displaystyle AB=2\sqrt{3}$, $\displaystyle A=\frac{\pi}{3}$ și $\displaystyle B=\frac{\pi}{4}$. Determinaţi raza cercului circumscris triunghiului $\displaystyle ABC$.

6. Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, știind că $\displaystyle m(\measuredangle B)=45^\circ$ și $\displaystyle BC=4\sqrt{2}$.

6. Arătați că, dacă $\displaystyle x$ este număr real pentru care $\displaystyle \sin x=\cos x$, atunci $\displaystyle \sin 2x=0$.

5p. Arătați că $\displaystyle \sin 60^\circ + \cos 150^\circ = 0$.

Triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic în $\displaystyle A$ și $\displaystyle \sin B = \cos B$. Arătați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este isoscel.

Arătați că $\displaystyle \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Arătați că $\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sin60^\circ-\sqrt{2}\cdot\cos45^\circ = \frac{1}{2}$.

6. Măsurile unghiurilor $\displaystyle A, B$ și $\displaystyle C$ ale triunghiului $\displaystyle ABC$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Demonstrați că măsura unghiului $\displaystyle B$ este egală cu $\displaystyle \frac{\pi}{3}$.

6. Arătați că $\displaystyle \sqrt{3} \sin 60^\circ + \sin 30^\circ - 4\sin^2 30^\circ = 1$.

Calculați lungimea ipotenuzei $\displaystyle BC$ a triunghiului dreptunghic $\displaystyle ABC$, în care $\displaystyle AB = 5$ și $\displaystyle \cos B = \frac{1}{2}$.

Calculați $\displaystyle 2\sin 30^\circ - \sin 45^\circ$.

Se consideră $\displaystyle x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ pentru care $\displaystyle 3\cos x - 2 = 2\cos x$. Calculați $\displaystyle \cos x$.

6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$ și punctul $\displaystyle D \in AC$, piciorul bisectoarei unghiului $\displaystyle B$. Știind că $\displaystyle BD=CD$, arătați că $\displaystyle m(\angle ACB)=30^\circ.$

6. Se consideră expresia $\displaystyle E(x) = \sin^2 x - \cos^2 x + \sqrt{2}(\sin x + \cos x) - 2$, unde $\displaystyle x$ este număr real. Arătați că $\displaystyle E(\frac{\pi}{4})=0$.

În triunghiul $\displaystyle ABC$, $\displaystyle m(\angle B)=60^{\circ}$ și $\displaystyle m(\angle C)=60^{\circ}$. Calculați cosinusul unghiului $\displaystyle A$.

Arătați că $\displaystyle \frac{1}{1+\operatorname{tg} x} + \frac{1}{1+\operatorname{ctg} x} = 1$, pentru orice $\displaystyle x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.

Determinați $\displaystyle x \in (0, \pi)$ pentru care $\displaystyle 2\sin x \sin(\pi-x)=1$.

Se consideră expresia $\displaystyle E(x)=\sin x - \sin(\pi-x) + \cos x + \cos(\pi-x) + \operatorname{tg} 2x$, unde $\displaystyle x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$. Arătați că $\displaystyle E\left(\frac{\pi}{8}\right)=1$.