Calculați lungimea laturii $\displaystyle BC$ a triunghiului $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, știind că $\displaystyle AB = 7$ și $\displaystyle m(\sphericalangle B) = 60^\circ$.

Calculați perimetrul triunghiului $\displaystyle ABC$, știind că $\displaystyle m(\angle A)=60^{\circ}$, $\displaystyle m(\angle B)=60^{\circ}$ și $\displaystyle BC=30$.

Arătați că $\displaystyle \sin 30^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} - \cos 30^{\circ} \cdot \sin 45^{\circ} = 0$.

Calculați $\displaystyle 2 \frac{\sin 30^\circ}{\cos 45^\circ} - \cos^2 45^\circ$.

Calculați lungimea catetei $\displaystyle AB$ a unui triunghi $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, știind că $\displaystyle BC=8$ și $\displaystyle m(\angle B)=30^{\circ}$.

Determinați $\displaystyle x \in (0, \pi)$, știind că $\displaystyle 2(\sin x + \cos x)^2 - 4\cos x(\sin x - \cos x)=4$.

6. Arătați că $\displaystyle (x-\sin x + \cos x)^2 + (\sin x+\cos x)^2=2$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Calculați lungimea ipotenuzei $\displaystyle BC$ a triunghiului dreptunghic $\displaystyle ABC$, în care $\displaystyle AB=10$ și $\displaystyle \cos B = \frac{1}{2}$.

6. Calculați $\displaystyle \cos 2x$, știind că $\displaystyle \operatorname{tg} x = \sqrt{3}$ și $\displaystyle x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.

6. Arătați că $\displaystyle \operatorname{tg}x=\frac{3}{4}$, știind că $\displaystyle x \in (0, \frac{\pi}{2})$.

6. Se consideră triunghiul ascuțitunghic $\displaystyle ABC$ cu $\displaystyle AB=8$, $\displaystyle BC=8$ și aria egală cu $\displaystyle 16$. Determinați măsura unghiului $\displaystyle B$.

Determinați $\displaystyle \cos 2x$, știind că $\displaystyle x$ este număr real și $\displaystyle \sin x = \frac{1}{3}$.

În triunghiul $\displaystyle MNP$, știind că $\displaystyle MN = 16$ și $\displaystyle m(\sphericalangle P) = 30^{\circ}$. Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului $\displaystyle MNP$.

Determinați perimetrul triunghiului $\displaystyle ABC$, știind că $\displaystyle AB=5$, $\displaystyle AC=4$ și $\displaystyle m(\angle A)=60^\circ$.

5p 6. Lungimile laturilor unui triunghi sunt egale cu 2, 3 și 4. Arătați că triunghiul este obtuzunghic.

5p 6. Determinați $\displaystyle x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, știind că $\displaystyle \sin x \cos(\pi-x)-\sin(\pi-x)\cos x=-1$.

Triunghiul $\displaystyle ABC$ are $\displaystyle AB=10$ și $\displaystyle AC=5$. Arătați că $\displaystyle \sin C = 2 \sin B$.

Determinați numărul real $\displaystyle x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, astfel încât $\displaystyle \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right) = 2 \sin x \cos \frac{\pi}{6}$.

6. Arătați că, dacă triunghiul $\displaystyle ABC$ este înscris într-un cerc de rază $\displaystyle 1$, atunci $\displaystyle \cos^2 A = 1-BC^2$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic isoscel, cu ipotenuza $\displaystyle BC=8\sqrt{2}$. Arătați că raza cercului înscris în $\displaystyle ABC$ este egală cu $\displaystyle 4(2-\sqrt{2})$.