a) Calculați $\displaystyle \det(A(-8))$.

b) Să se determine $\displaystyle a \in R$ astfel încât matricea $\displaystyle A$ să fie inversabilă în $\displaystyle M_3(R)$.

c) Să se arate că oricare ar fi $\displaystyle a \in R$ sistemul $\displaystyle (S)$ nu admite o soluție $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ cu $\displaystyle x_0, y_0, z_0 \in Z$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a) \cdot A(a) = A(0)$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea $\displaystyle A(-1) \cdot X = A(0)$.

a) Calculați $\displaystyle \det(B^2)$, unde $\displaystyle B=A(0)$.

b) Demonstrați că matricea $\displaystyle A(m)$ este inversabilă, pentru orice $\displaystyle m \in \mathbb{Q}$.

c) Determinați $\displaystyle m \in \mathbb{Q}$ pentru care $\displaystyle (A(m))^{-1} = (A(m))^*$, unde notația $\displaystyle X^*$ reprezintă adjuncta matricei $\displaystyle X$.

a) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A)=0$.

b) Pentru $\displaystyle x=2$, arătați că matricea $\displaystyle B = A^2-2A+I_2$ este inversabilă.

c) Pentru $\displaystyle x=2$, determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle A \cdot X = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$.