Fie matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1+3x & 0 & 6x \\ 0 & 1 & 0 \\ -x & 0 & 1-2x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(1))$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \text{rang } A(x) = 3$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle (x,a)$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(a) = A(a) \cdot A(x) = A(-4)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 2 & a & 4 \end{pmatrix}$, și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+y+z=1 \\ x+2y+az=2 \\ 2x+ay+4z=3 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = a(3-a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Pentru $\displaystyle a=0$ demonstrați că sistemul de ecuații este incompatibil.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$, și $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ sunt numere întregi.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \ -1 & -3 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix} a & a \ 3 & 6 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real .

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -5$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle B(-1) \cdot B(-1)+3A=4B(a)$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle X \cdot (A-2I_2)=B(0)$.

Se consideră sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+y+z=4 \\ 2x+y-z=1 \\ ax+y-z=a-1 \end{cases}$, unde $\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}$ și $\displaystyle a$ este parametru real.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$ astfel încât sistemul să aibă soluție unică.

b) Dacă $\displaystyle a\neq 2$, rezolvați sistemul de ecuații.

c) Dacă $\displaystyle a=2$, determinați soluția $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ a sistemului, având componentele întregi, pentru care $\displaystyle x_0^2+y_0^2+z_0^2=6$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A)=1$.

b) Arătați că $\displaystyle 2A-A \cdot A=I_2$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x,y$ și $\displaystyle z$, pentru care $\displaystyle A \begin{pmatrix} x-2 \\ x+1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} y \\ z \end{pmatrix} = O_2$.

Se consideră sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+y+z = a-1 \ ax+y+z = 1 \ x+ay+z = -1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A) = a^2-3a+2$.

b) Aflați soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ în cazul în care sistemul este compatibil determinat.

c) Să se arate că pentru orice $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ sistemul este compatibil.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}$.

a) Calculați $\displaystyle \det A$ și $\displaystyle \det(A^3)$.

b) Să se afle $\displaystyle A^n$, $\displaystyle n \in \mathbb{N}^*$.

c) Să se determine matricea $\displaystyle X$, cu elemente numere reale, astfel încât $\displaystyle (A + I_3)X = O_{3,1}$.

Se consideră sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+y+az=1 \\ x+2ay+z=-1 \\ 2ax+y+(a+1)z=0 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este un număr real.

a) Rezolvați sistemul pentru $\displaystyle a=0$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care sistemul are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle a=-1$, determinați soluția $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ a sistemului pentru care $\displaystyle x_0^2+y_0^2+z_0^2=1$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} m+1 & -2 & 1 \\ 1 & m+1 & -2 \\ -2 & 1 & m+1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} (m+1)x - 2y + z = m \\ x + (m+1)y - 2z = 3 \\ -2x + y + (m+1)z = 3 \end{cases}$, unde $\displaystyle m$ este un număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = 0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(m)$ este inversabilă dacă și numai dacă $\displaystyle m \ne 0$.

c) Pentru $\displaystyle m \ne 0$, demonstrați că singura soluție a sistemului de ecuații este $\displaystyle x=1, y=2$ și $\displaystyle z=3$.

Se consideră matricea $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & m \\ 4 & 1 & -1 \\ 1 & -m & -1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} 2x+y+mz=4 \\ 4x+y-z=6, m \in \mathbb{R}. \\ x-my-z=1 \end{cases}$

a) Determinați $\displaystyle m \in \mathbb{R}$ astfel încât sistemul să admită soluția $\displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \det A \ge 0$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$, pentru care sistemul admite o soluție unică cu componentele numere naturale.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 1-a \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle a \in \mathbb{R}$.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(-2))$.

b) Determinați valoarea parametrului real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a)) = 3$.

c) Rezolvați ecuația matriceală $\displaystyle A(1) \cdot X = A(4)$, $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații liniare $\displaystyle \begin{cases} x+ay=1 \\ x-y=a \\ x+y-z=a \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este un număr real.

a) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A$ este inversabilă.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care ecuația $\displaystyle AX = \begin{pmatrix} 1 \\ a \end{pmatrix}$ nu are soluții reale, unde $\displaystyle X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in M_{2,1}(\mathbb{R})$.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, fie $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ o soluție reală a sistemului. Să se determine valoarea maximă a expresiei $\displaystyle x_0 \cdot y_0$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & m \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x + 2y + 3z = 0 \\ 2x + 3y + 4z = 0 \\ 3x + 4y + mz = 0 \end{cases}$ un număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(m)) = 5-m$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Determinați soluțiile reale ale sistemului pentru $\displaystyle m=5$.

c) Demonstrați că $\displaystyle A^n(5) = I_3$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

Pe mulțimea $\displaystyle \mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = 2xy+3x-y$.

a) Arătați că legea „$\displaystyle \ast$” nu este asociativă.

b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $\displaystyle (x+1) \ast x \le x \ast (x+1)+x$.

c) Rezolvați în $\displaystyle \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x \ast (-y) = -2xy \\ x \ast 1 = 2 \end{cases}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & a \\ 1 & 9 & a^2 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 3y + az = 1 \\ x + 9y + a^2z = 1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este un număr real.

a) Să se arate că $\displaystyle \det(A(2)) = -2$.

b) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Pentru $\displaystyle a \in \mathbb{R} \setminus \{1; 3\}$, rezolvați sistemul de ecuații.