a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle a=-1$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ ale sistemului pentru care $\displaystyle x_0^2+y_0^2+z_0^2=3$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ ale sistemului pentru care $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ sunt numere întregi și $\displaystyle x_0 > y_0 > z_0$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=3$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(0) \cdot A(x) = A(0)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle (A(1))^{-1}=aA(1)+bI_3$, unde $\displaystyle (A(1))^{-1}$ este inversa matricei $\displaystyle A(1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B(x)-xA)=x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(x)+B(x+2)=2A \cdot A$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 3$.

b) Arătați că sistemul de ecuații are soluție unică, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle a$ pentru care soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ a sistemului de ecuații verifică inegalitatea $\displaystyle y_0 z_0 \ge 1$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -2$.

b) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle a$ pentru care sistemul are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_1, y_1, z_1)$, $\displaystyle (x_2, y_2, z_2)$ ale sistemului de ecuații pentru care $\displaystyle y_1=x_2$ și $\displaystyle z_1=y_2$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=4$.

b) Arătați că $\displaystyle A(-1) \cdot A(1) = A(0)$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale, cu $\displaystyle m<n$, pentru care $\displaystyle A(-1) \cdot A(m) = A(n)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=2$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(1) \cdot A(1)+2I_2=xA(1)$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(2) \cdot X \cdot A(2) = A(0)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=2$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Pentru $\displaystyle a=2$, arătați că $\displaystyle x_0y_0+y_0z_0=0$, pentru orice soluție $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de ecuații, cu $\displaystyle x_0,y_0,z_0$ numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \text{det}(A(1)) = 2$.

b) Arătați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, sistemul de ecuații are soluție unică.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$, cu $\displaystyle z_0=nx_0$, unde $\displaystyle n$ este număr natural.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=4$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Determinați $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ soluția sistemului de ecuații liniare pentru $\displaystyle a=1$. Pentru $\displaystyle a=2$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ ale sistemului de ecuații liniare pentru care $\displaystyle x_0y_0z_0=y_1$.

a) Arătați că $\displaystyle A(1, 1)^2 = 6A(1, 1)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x, y)) = (x-1)(y-1)(y-x)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Aflați perechile de numere naturale $\displaystyle (m, n)$ pentru care ecuația matriceală $\displaystyle A(2^m, 3^n) X = 2I_3$ are soluție unică.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 5$;

b) Să se demonstreze că matricea $\displaystyle A$ verifică relația: $\displaystyle A^2 - 2A + I_2 = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$;

c) Să se afle matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ știind că $\displaystyle A \cdot X = B$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A)=5a+4$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a,b$ pentru care tripletul $\displaystyle (1,0,-1)$ este soluție a sistemului;

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a,b$ astfel încât sistemul să fie compatibil nedeterminat.

a) Determinați cel mai mic număr întreg $\displaystyle m$ pentru care suma elementelor matricei $\displaystyle A(m)$ este un număr natural nenul.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)-A(2)) = 0$.

c) Pentru $\displaystyle m=2$, determinați soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ a sistemului de ecuații, știind că $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ formează o progresie geometrică.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=1$.

b) Pentru $\displaystyle m=2$, rezolvați sistemul de ecuații.

c) Pentru $\displaystyle m=3$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ ale sistemului de ecuații, astfel încât $\displaystyle x_0+y_0z_0=4$ și $\displaystyle x_0,y_0,z_0$ sunt numere întregi.