Se consideră matricea $\displaystyle A(a,b)=\begin{pmatrix} a & a-2 \\ b+1 & b-1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1,0))=-1$.

b) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a\in(-\infty,0)$ și $\displaystyle b\in(0,+\infty)$, atunci matricea $\displaystyle A(a,b)$ este inversabilă.

c) Determinați matricea $\displaystyle X\in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(1,3) \cdot X = A(2,1)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 1 & -a & 1 \\ 2 & a & -1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} 3x+y-z=1 \\ x-ay+z=3 \\ 2x+ay-z=2 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2)) = -3$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle B(a) = A(a) \cdot A(a)$ are două elemente egale cu $\displaystyle 0$.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, arătați că sistemul de ecuații nu are soluții.

Se consideră matricea $\displaystyle A(m) = \begin{pmatrix} 4 & 1 & m \\ 1 & 2 & -1 \\ -2 & -3 & 0 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} 4x+y+mz = 9 \\ x+2y-z = 4 \\ -2x-3y = -7 \end{cases}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(m)) = m-10$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Determinați inversa matricei $\displaystyle A(9)$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle m \ne 10$, dacă $\displaystyle (a,b,c)$ este soluția sistemului de ecuații, atunci $\displaystyle \log_2 a + b + c = 2$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 2 & 1 \ 2 & 4 & -a \ 1 & a & -1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} ax+2y+z = 1 \ 2x+4y-az = 1 \ x+ay-z = 0 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=-3$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Arătați că sistemul de ecuații nu admite nicio soluție $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ astfel încât $\displaystyle x_0 = \frac{z_0}{2} = \frac{2}{3}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 2a & 1 & 1 \\ 1 & 2a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} 2ax + y + z = 0 \\ x + 2ay + z = 1 \\ x + y + az = -1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(-1)) = -3$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații admite soluție unică.

c) Determinați numărul întreg $\displaystyle a$, știind că există numerele reale $\displaystyle y_0$ și $\displaystyle z_0$ astfel încât $\displaystyle (1, y_0, z_0)$ este soluție a sistemului de ecuații.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=2$.

b) Arătați că $\displaystyle A(A-2I_2) = (A-4I_2) \cdot 6I_2$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A \cdot X = 3A + 4X$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -6 & 4 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} x & 2 \\ -7 & x-4 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det A=0$.

b) Determinaţi numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(B(x)) + \det(B(7)-A) = 0$.

c) Determinaţi matricea $\displaystyle C \in M_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle xA-A \cdot B(x) = 14C$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Se consideră matricea $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \ -1 & -3 \end{pmatrix}, I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(a)=\begin{pmatrix} a & a \ 3 & 6 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=-5$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle B(1) \cdot B(-1) + 3A = 4B(A)$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle X(A-2I_2) = B(0)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2a-1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații liniare: $\displaystyle \begin{cases} ax+y-2z=1 \\ 2x+y+3z=2 \\ (2a-1)x+2y+z=a \end{cases}$, unde $\displaystyle a \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(4)) = 5$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații asociat matricei $\displaystyle A(a)$ are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle a=3$, determinați soluțiile sistemului de ecuații pentru care $\displaystyle \sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}=0$, sau $\displaystyle x_0=y_0=1$, sau $\displaystyle (x_0, y_0)=(1,0)$.

Se consideră sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} ax+(a+1)y+(a+2)z=a \\ bx+(b+1)y+(b+2)z=b \\ x+z=1 \end{cases}$ și matricea $\displaystyle X(a,b)=\begin{pmatrix} a & a+1 & a+2 \\ b & b+1 & b+2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(X(0,1))=1$.

b) Demonstrați că, pentru orice numere reale distincte $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, sistemul de ecuații are soluție unică.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ este soluție a sistemului de ecuații, atunci $\displaystyle x_0^2-z_0^2-2a y_0=3$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1+2x & 0 & -4x \\ 0 & a & 0 \\ x & 0 & 1-2x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(x)) = x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$ astfel încât $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x + y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(2) \cdot X = A(3)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 7 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -2$.

b) Arătați că $\displaystyle A - 4I_2 = 3B$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle X+X \cdot B = A$.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & a \\ 2 & 1 & -1 \\ a & 3 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+3y+az = 1 \\ 2x+y-z = 1 \\ ax+3y+z = 1 \end{cases}$ unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=0$.

b) Arătați că $\displaystyle A^2(a)$ este matricea nulă, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Demonstrați că, dacă sistemul de ecuații are o infinitate de soluții, atunci $\displaystyle x_0+y_0+z_0 \leq 0$, pentru orice soluție $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de ecuații, cu $\displaystyle x_0,y_0,z_0$ numere reale.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & x \\ 1 & 2x+1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle 2A(4)+A(-2)=aA(2)$.

c) Arătați că, dacă $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ astfel încât $\displaystyle X \cdot A(1) = A(0)$, unde $\displaystyle m$ este număr întreg, atunci matricea $\displaystyle X$ are toate elementele numere întregi.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 3 & a & -2 \\ 2 & 1 & -1 \\ a+2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} (3x+ay-2z=b \\ 2x+y-z=1 \\ (a+2)x-2y+z=-1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ și $\displaystyle c$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=5$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle b$ și $\displaystyle c$ pentru care sistemul de ecuații este compatibil, oricare ar fi numărul real $\displaystyle a$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a & 1 \ 1 & 1 & -1 \ 2 & -a & 4 \end{pmatrix}$ şi sistemul de ecuaţii $\displaystyle \begin{cases} ax+y+z=4 \ x+ay-z=4 \ 2x-ay+4z=a \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(1))=-9$.

b) Determinaţi mulţimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care sistemul are soluţie unică.

c) Arătaţi că, dacă sistemul are soluţia unică $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$, atunci $\displaystyle x_0+y_0+z_0=2$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a \\ a & a+1 & -2 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} 2x+y+2z=2 \\ x-y+az=4 \\ ax+(a+1)y-2z=a \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=8$.

b) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Pentru $\displaystyle a=-2$, arătați că $\displaystyle x_0y_0+z_0=-2$, pentru orice soluție $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de ecuații.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle C = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle 2B - A = 3C$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2 (\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle 2X \cdot A = B + 2C$.