Se consideră sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+ay=1 \\ 2x+y+az=4 \\ -3x-y+z=1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real și $\displaystyle A(a)$ matricea coeficienților sistemului.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=-1$.

b) Pentru $\displaystyle a=-1$, determinați soluția sistemului de ecuații.

c) Demonstrați că, pentru orice număr rațional $\displaystyle p$, matricea $\displaystyle A(p)$ este inversabilă pentru orice număr rațional $\displaystyle p$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ a & 1 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x-2y+z = -1 \\ x-2y+z = 1 \\ ax+y+z = 3 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=-9$.

b) Demonstrați că suma elementelor matricei $\displaystyle B(a)=A(a) \cdot A(a)$ nu depinde de numărul real $\displaystyle a$.

c) Pentru $\displaystyle a=-2$, arătați că sistemul de ecuații este incompatibil.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & -1 \\ 1 & -1 & a \\ a & -1 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+ay-z=1 \\ x-y+az=2 \\ ax-y+z=1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = -4$.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Arătați că sistemul de ecuații nu admite nicio soluție $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ pentru care $\displaystyle x_0 = y_0 = z_0$.

Se consideră sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} (m^2-1)x+my+4z=1 \\ x+y+z=0 \\ mx+3y+2z=-1 \end{cases}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care tripletul $\displaystyle (-1,0,1)$ este soluție a sistemului de ecuații.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care sistemul de ecuații admite soluție unică.

c) Determinați numerele $\displaystyle m \in \mathbb{Z} \setminus \{-7,2\}$, pentru care sistemul de ecuații admite soluția $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$, cu $\displaystyle x_0 \cdot y_0 \cdot z_0 \in \mathbb{Z}$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 5-a & 10 \\ -2 & -4 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle A(a) \cdot A(a) = A(0)$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea $\displaystyle A(-1) \cdot X = A(0)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 4 & a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} 2x+y-3z=1 \\ x-2y+z=0 \\ 2x+4y+az=2 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = a+2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Pentru $\displaystyle a=-2$, determinați inversa matricei $\displaystyle A(-2)$.

c) Pentru $\displaystyle a=-2$, rezolvați sistemul de ecuații.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+2y-z=2 \\ y+3z=4 \\ 2x-y+az=2 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=18$.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, rezolvați sistemul de ecuații.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+z=1 \\ y+z=a \\ x+y=a \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -2$.

b) Arătați că matricea $\displaystyle B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ este inversa matricei $\displaystyle A$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că sistemul de ecuații are soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ cu $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 2 & 1 \\ 4 & a & 1 \\ 1 & -1 & a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} ax+2y+z=4 \\ 4x+ay+z=6 \\ x-y+az=1 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=0$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ are rangul 2.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că sistemul are soluție unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ și $\displaystyle x_0^2+y_0^2+z_0^2=3$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 12+a & a \\ 1+a & 3+a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=36$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a)-(12+a)I_2)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Se consideră matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ cu proprietatea $\displaystyle X \cdot A(0)=A(0)$. Arătați că cel puțin un element al matricei $\displaystyle X$ este număr irațional.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 2-a & a \\ 1 & 1 & 1 \\ a & 2a-5 & a-2 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x + (2-a)y + az = 1 \\ x + y + z = 2-a \\ ax + (2a-5)y + (a-2)z = -4 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = 3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a)) = (a-1)(a-3)(3a+1)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle a$ pentru care sistemul are soluție unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ și $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ sunt numere naturale.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x+2 & x+3 \\ x-3 & x-2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(x))=5$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ astfel încât $\displaystyle A(-3)+A(-2)+A(-1)+A(0)+A(1)+A(2)+A(3)=nA(0)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ -4 & 7 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=6$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot B = B \cdot A$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, știind că $\displaystyle (x+1)A \cdot B + (y-2)B \cdot A = B \cdot B$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a+1 & a \\ 1 & 1 & a+1 \\ 2 & a & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+(a+1)y+az=6a+3 \\ x+y+(a+1)z=4a+7 \\ 2x+ay+z=2a+6 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=2(a^2+1)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a) \cdot A(0) = A(0) \cdot A(a)$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ este soluția sistemului de ecuații, atunci $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a+1 & 1 & a \\ 1 & -1 & -a \\ 2-a & 1 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} (a+1)x+y+az = -5 \\ x-y-az = 10 \\ (2-a)x+y+z = 1-a \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det\left(A(2)\right) = 4$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații nu este compatibil determinat.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle a$ pentru care sistemul are soluția unică $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ și $\displaystyle x_0$ este număr întreg.

Pe mulțimea $\displaystyle M = (2,+\infty)$, pentru orice $\displaystyle x,y \in M$, se definește compoziția $\displaystyle x*y = \frac{xy-4}{x+y}$.

a) Arătați că $\displaystyle 8*5 = \frac{5}{4}$.

b) Calculați $\displaystyle (x+2)*(y+2)$ pentru orice $\displaystyle x, y \in M$.

c) Determinați $\displaystyle x e 2$ \text{și} $\displaystyle x e 1/2$ \text{din mulțimea} $\displaystyle M$ \text{pentru care} $\displaystyle x*x = \frac{x^{n+1}-2^n}{2^n}$ \text{unde} $\displaystyle n \in \{0,1,2,\dots\}$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a & -2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2a-1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+ay-2z=2 \\ 2x+y+3z=1 \\ (2a-1)x+2y+z=a \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(4))=5$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ nu este inversabilă.

c) Pentru $\displaystyle a=3$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ ale sistemului de ecuații pentru care $\displaystyle z_0^2=x_0+y_0$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a,b,c) = \begin{pmatrix} 1+a & 1 & 1 \\ 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1+c \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} (1+a)x+y+z=0 \\ x+(1+b)y+z=0 \\ x+y+(1+c)z=0 \end{cases}$, unde $\displaystyle a, b, c$ sunt numere reale nenule.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(-2,0,2))=4$.

b) Arătați că, dacă $\displaystyle abc+ab+bc+ca \ne 0$, atunci matricea $\displaystyle A(a,b,c)$ este inversabilă.

c) Demonstrați că, dacă sistemul de ecuații admite și soluții diferite de soluția $\displaystyle (0,0,0)$, atunci numărul $\displaystyle N = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ este întreg.