a) Arătați că $\displaystyle \det(A(-1)) = 17$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(2019-a) + A(2019+a) = 2A(2019)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați perechile de numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, pentru care $\displaystyle A(x)A(y) = 2A(-8)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a)) = a(1-a)(1+a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Pentru $\displaystyle a=0$, demonstrați că sistemul de ecuații are o infinitate de soluții de forma $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ cu $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ numere întregi.

a) Arătați că $\displaystyle D(0)=-5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle D(a)=12(a-5)+(a-1)(a-2)$ pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați numerele intregi $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle D(a)<3a-3$.

a) Arătați că $\displaystyle M(-1)+M(1)=2M(0)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(x) cdot M(y)=M(x+y)$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Demonstrați că pentru orice număr real $\displaystyle a$, ecuația $\displaystyle f(x)=a$ are cel puțin o soluție.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = a(3-a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Pentru $\displaystyle a=0$, demonstrați că sistemul de ecuații este incompatibil.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ și $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ sunt numere întregi.

a) Calculați $\displaystyle \det(M(-1))$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(x) + M(y) = M(0) + M(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați perechile de numere naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, ştiind că suma elementelor matricei $\displaystyle M(m) \cdot M(1)$ este egală cu suma elementelor matricei $\displaystyle M(1) \cdot M(n)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = a(a-1)(a-4)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Arătați că nu există niciun număr real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a) \cdot A(1) = A(4) \cdot A(a) - A(1)$.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle a$, pentru care sistemul de ecuații are soluția unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ cu $\displaystyle x_0, y_0$ și $\displaystyle z_0$ numere întregi.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = -3$.

b) Pentru $\displaystyle a=-1$ și $\displaystyle b=2$, rezolvați sistemul de ecuații.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care sistemul de ecuații este compatibil nedeterminat.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(0))=5$.

b) Determinaţi mulţimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuaţii este compatibil determinat.

c) Determinaţi numărul real $\displaystyle a$, ştiind că sistemul de ecuaţii are soluţie unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ şi $\displaystyle x_0+y_0+z_0=0$, în această ordine, termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ nu este inversabilă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care există $\displaystyle y_0$ și $\displaystyle z_0$, numere reale, astfel încât $\displaystyle (2,y_0,z_0)$ să fie soluție a sistemului de ecuații.

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(m))=m-9$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care sistemul de ecuații admite soluții diferite de $\displaystyle (0,0,0)$.

c) Pentru $\displaystyle m=9$, se consideră $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ o soluție a sistemului de ecuații, cu $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ numere reale astfel încât $\displaystyle (x_0,y_0,z_0) \neq (0,0,0)$. Calculaţi $\displaystyle \frac{x_0^2+y_0^2-z_0^2}{x_0^2+y_0^2+z_0^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=0$.

b) Demonstrați că, pentru $\displaystyle m=-3$, sistemul de ecuații nu are soluții.

c) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle m$, sistemul de ecuații are cel mult o soluție.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=2$.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care matricea $\displaystyle A(m)$ este inversabilă.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle m \in \mathbb{R} \setminus \{-1,1\}$, soluția $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de ecuații verifică relația $\displaystyle \frac{y_0}{z_0}=x_0$.