Determinați rația progresiei aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n \geq 1}$, știind că $\displaystyle a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 14$ și $\displaystyle a_2 + a_4 = 2$.

1. Calculați $\displaystyle a_{2023}$, știind că $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ este progresie aritmetică cu $\displaystyle a_1=2023$ și $\displaystyle r=-1$.

Fie funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x-1$. Demonstrați că numărul $\displaystyle f(1)+f(2)+f(3)+...+f(30)$ este pătrat perfect.

Calculați suma primilor patru termeni ai unei progresii aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n \geq 1}$, cu rația $\displaystyle r=2$, știind că $\displaystyle a_3=4$ și $\displaystyle a_4=8$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ astfel încât numerele $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2x+1$, $\displaystyle 5x-7$ să fie în progresie aritmetică.

Determinați primul termen al unei progresii aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$, dacă $\displaystyle a_3 = 9$ și $\displaystyle a_{10} = 19$.

1. Într-o progresie aritmetică se cunosc termenii $\displaystyle a_4 = 7$ și $\displaystyle a_9 = 22$. Calculați $\displaystyle a_{2025}$.

În progresia aritmetică $\displaystyle (a_n)_{n ≥ 1}$, rația este $\displaystyle r=4$, iar $\displaystyle a_2=7$. Aflați $\displaystyle a_{10}$.

1. Calculați suma primilor trei termeni ai unei progresii aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n \geq 1}$, ştiind că $\displaystyle a_1=-3$ şi $\displaystyle a_2=-7$.

Calculați $\displaystyle f(1)+f(2)+\ldots+f(10)$ pentru funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x-2$.

5. Să se determine $\displaystyle x \in \mathbb{R}$, pentru care numerele $\displaystyle a = 5x^2$, $\displaystyle b = x^2 + \frac{3x-12}{2}$, $\displaystyle c = (-14x^2) + 6$ sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

1. Într-o progresie aritmetică se cunosc termenii $\displaystyle a_3 = 1$ și $\displaystyle a_{11} = 17$. Calculați $\displaystyle a_{2026}$.

Fie progresia aritmetică $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ și progresia geometrică $\displaystyle (b_n)_{n \ge 1}$ astfel încât $\displaystyle a_1 = b_1 = 1$, $\displaystyle b_2 - a_2 = 2$ iar cele două progresii au aceeași rație pozitivă. Să se calculeze $\displaystyle b_4 - a_4$.

Calculați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ știind că $\displaystyle a_1 = 3$ și $\displaystyle a_3 = 27$.

5p Să se arate că $\displaystyle 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{16} - \frac{1}{32}$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Arătați că $\displaystyle \log_3 3, \log_3 6$ și $\displaystyle \log_3 {12}$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

1. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care numerele $\displaystyle 3$; $\displaystyle x-1$; $\displaystyle 7$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

5p 1. Numerele reale $\displaystyle a$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle b$, sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Să se calculeze $\displaystyle b-a$.

5. Să se arate că termenii $\displaystyle a-1)^2, b^2, c-1)^2$, $\displaystyle c(1+1 \cdot 1 \cdot 1)^2$ sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.