Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{e^x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 f(x) dx = 2-3e^{-2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (x+1)^2 e^x dx$.

c) Se consideră numerele reale pozitive $\displaystyle a, b$ și $\displaystyle c$. Demonstrați că, dacă $\displaystyle 1 - \int_0^1 \frac{e^{-x}f(x)}{x+1} dx$, $\displaystyle 1 - \int_0^1 \frac{f(x)}{x+1} dx$ și $\displaystyle 1 - \int_0^1 \frac{e^x f(x)}{x+1} dx$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice, atunci $\displaystyle a,b,c$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+z=1 \\ y+z=a \\ x+y=a \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = -2$.

b) Arătați că matricea $\displaystyle B = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ este inversa matricei $\displaystyle A$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că sistemul de ecuații are soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ cu $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a+1 & 2a+1 \\ a & 2a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(10)) = 10$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)-A(b) = (a-b)(A(1)-A(0))$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \det(A(2)) + \det(A(3)) + \dots + \det(A(n)) = 35$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3-15X^2+mX-80$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle m=95$, arătați că $\displaystyle f(1)=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle x_1(x_1-x_2)+x_2(x_2-x_3)+x_3(x_3-x_1)=0$, unde $\displaystyle x_1$, $\displaystyle x_2$ și $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle f$, știind că acestea sunt numere reale în progresie aritmetică.

Pe mulțimea $\displaystyle M=[0,+\infty)$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = \sqrt{x^2+y^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 \ast 4 = 5$.

b) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \ast \sqrt{5} = \sqrt{x+1}$.

c) Demonstrați că există o infinitate de perechi $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale nenule, pentru care numerele $\displaystyle m, n$ și $\displaystyle m \ast n$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.