a) Determinați $\displaystyle \int f(x)e^x dx$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle G : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle G(x) = e^x (-x^2 + x + 1)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este descrescătoare pe intervalul $\displaystyle [0, 3]$.

a) Calculați $\displaystyle I_1$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f_2$ este convexă pe $\displaystyle [0, \frac{\pi}{8}]$.

c) Să se determine primitiva funcției $\displaystyle f_{2023}$ care trece prin punctul $\displaystyle A(0,0)$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle G_1$ a funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = x F(x)$ cu proprietatea că graficul lui $\displaystyle G_1$ conține punctul $\displaystyle A(1, -\frac{\pi}{4})$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{G(x)}{x^2}$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=-\frac{1}{4}\cos 2x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f_{1,1}$;

b) Calculați $\displaystyle \int_0^{\pi/2} f_{3,1}(x)dx$;

c) Fie $\displaystyle F$ o primitivă a funcției $\displaystyle f_{2022,2023}$. Demonstrați că există un număr real $\displaystyle k$ astfel încât $\displaystyle F(x+2\pi)-F(x)=k$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Calculați $\displaystyle \int \frac{x^2-2}{x-2} \, dx, x \in (0,1)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F$ admite primitive.

c) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pe intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle f$ admite primitive .

b) Arătați că orice primitivă este concavă pe $\displaystyle (-\infty,0)$.

c) Calculați $\displaystyle \int x \cdot f(x)dx$, pentru $\displaystyle x \in [0,\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle F_1 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F_1(x) = \frac{1}{2}\ln(x^2+4)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f_1$.

b) Determinați o primitivă a funcției $\displaystyle f_1$ a cărei reprezentare grafică trece prin punctul $\displaystyle A\left(2, -\frac{\pi}{2}\right)$.

c) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f_n$ este bijectivă.

a) Determinați mulțimea primitivelor funcției $\displaystyle g:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(\sqrt{x-1})$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{x\ln f(x)}{x^2+1}dx = -506\ln^2(x^2+1)+C, C \in \mathbb{R}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați punctele de inflexiune ale funcției $\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, primitivă a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int (x^2+x+1)f(x)dx = \frac{x^3}{3}+x+C$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ are un singur punct de extrem.

c) Determinați funcția $\displaystyle G:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, primitivă a funcției $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=xf(x)$, cu proprietatea $\displaystyle G(1)=\frac{\pi}{4}$.

a) Verificați dacă funcția $\displaystyle g$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați primitiva funcției $\displaystyle g$ a cărei reprezentare grafică conține punctul $\displaystyle O(0,0)$.

c) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{x^2}{1-x^2}dx = \ln 2 - 1$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției date este concavă pe intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

c) Pentru orice $\displaystyle n$ număr natural se definește șirul $\displaystyle I_n = \int_0^1 (1-x^2)^n dx$. Demonstrați că $\displaystyle (2n+3)I_{n+1} = 2(n+1)I_n$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{e^x} dx = - \frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \left(f(x)+2e^x\right) dx = -1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle F(x) = (x-3)e^x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$, și funcția $\displaystyle F$ este concavă pe intervalul $\displaystyle (-\infty, 1]$.

a) Calculați $\displaystyle \int \frac{f(x)}{\ln(x+2)}dx$, $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int f(x)(x^2+1)dx$, $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

c) Arătați că $\displaystyle F\left(-\frac{1}{2023}\right) < F\left(-\frac{1}{2024}\right)$, unde $\displaystyle F:(-2, +\infty) \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

a) Calculați $\displaystyle \int f(x)e^{-x}dx$, $\displaystyle x\in(0,\infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle H:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle h(x)=g(x)-f(x)$, știind că $\displaystyle H(1)=3$.

a) Calculați $\displaystyle \int (f(x) + x^2 - 3) dx$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$, care verifică relația $\displaystyle F(0) = 2$.

c) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (0, +\infty)$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{2} (\frac{f(x)}{x} + g(x)) dx$.

c) Determinați numărul $\displaystyle a \in (1, +\infty)$ știind că $\displaystyle \int_{1}^{a} g(x) dx = \frac{\ln a}{2}$.

a) Determinați $\displaystyle \int (x^2-x+1)f(x)dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^2 f(x)dx$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_1^2 x^{n+1}f(x)dx$.

a) Folosind eventual faptul că $\displaystyle x^2+x+1 \ge \frac{7}{2}$ pentru orice $\displaystyle x \in [2,\infty)$, arătați că $\displaystyle \int_2^e f(x)dx \le 1$.

b) Demonstrați că dacă $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$ atunci $\displaystyle F(e) < F(3)$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 xf(x)dx = \frac{1}{2} \ln 3 - \frac{\pi}{18}\sqrt{3}$.

a) Verificați că $\displaystyle \int_0^2 f(x) dx = -2$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) \cdot e^x dx = 5-3e$.

c) Determinați $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ astfel încât aria suprafeței plane determinate de graficul funcției $\displaystyle g:[0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x^2+1}$ axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuație $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ să fie egală cu $\displaystyle a \cdot \pi - \ln 2$.