a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{e^x} dx = \frac{4}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)dx = e-1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a>1$, pentru care $\displaystyle \int_{1}^{a} \frac{2x f(x)}{x^2+1}dx = e(e^3-1)$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1(x^2+1)f(x)dx=\frac{1}{3}$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^2 2xf(x)dx=\ln 5$.

c) Determinaţi numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_1^2 e^x\left(f(x)+e^x\left(x^2+1\right)f'(x)\right)dx=e(ae-a+1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \frac{4}{e^3}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=(x^2-2x+3)e^x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=2$ are aria egală cu $\displaystyle 3(e^2-1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left( f(x) - \frac{4}{x} \right) dx = \frac{7}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e x^2 \left( f(x) - \frac{4}{x} \right) \ln x dx = 2\ln e - 2\ln 1 - 2 = -2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \int_1^2 \left( f(x)f'(x) \right) dx = m \left( f(2)-f(1) \right)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1(f(x)-3)dx=1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 e^x(f(x)-2x)dx=3e-1$.

c) Determinați $\displaystyle a\in(0,+\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x(x+3)}dx=\ln\frac{a}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)(x+1)^3 dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{x^3+1} dx = 1-\ln 2$.

c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g:\u211D \to \u211D$, $\displaystyle g(x) = \frac{f(e^x)}{e^x}$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=-1$ și $\displaystyle x=1$ este egală cu $\displaystyle \frac{e^2-1}{2(e+1)^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-4x-8) dx = \frac{1}{3}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=0$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0, +\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_0^a \frac{1}{f(x)-4} dx = \frac{1}{4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 x(F(x)-1-\ln^2 x)dx = 31$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{F(x)-8x^3}{x}dx = \frac{1}{3}$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$ se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_1^{e^2} \frac{x(\ln x)^n}{F(x)-8x^3}dx$. Demonstrați că $\displaystyle I_{n+2} + I_n \le 2^{n+1}(e^4-1)$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-1)dx = \frac{1}{3}$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=2$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x}dx = \frac{3}{2}+\ln 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^4 f(x)\sqrt{x} dx = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^4 f(x) dx = \frac{14}{3}-2\ln 2$.

c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $\displaystyle g:[2,3] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{\sqrt{2}}{f(x)}$ în jurul axei $\displaystyle Ox$ este egal cu $\displaystyle \pi \ln(4e)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (2x^2+1)f(x)dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \sqrt{f(x)}dx = \frac{1}{2}$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$ se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{f(\sqrt{e^x})} dx$. Arătați că $\displaystyle (n+1)I_n - I_{n+1} = \frac{2(n+1)}{n+2} + \frac{1}{e^n}$ pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e (f(x)-3\ln x)dx=7$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)-4x-1}{x}dx=3$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x^2}dx = a \ln 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-2x) dx = e+1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{f(x)-e^x} dx = \ln 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{e^x} dx = 5+\frac{a}{e}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1(f(x)-2x)dx=\frac{8}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2\frac{1}{f(x)-5x^2}dx=\frac{\ln 5}{2}$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle G:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-2x}{\sqrt{5x^2+1}}$, pentru care $\displaystyle G(1)=5$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^4\left(f(x)-xe^x\right)dx=12$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-x-1\right)dx=1$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g:[0,1]\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt{f'(x)}}{f(x)}$. Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $\displaystyle g$ în jurul axei $\displaystyle Ox$ este egal cu $\displaystyle \frac{\pi(e+1)}{e+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)-\frac{1}{x+2}\right)dx=15$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 4\text{ln}x \cdot \frac{f(x)-4x^3}{x}dx=e^2+9$.

c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g:(-2,+\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=(e^x-1)e^{-4e^{3x}}$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ este egală cu $\displaystyle \frac{1}{2}\text{ln}\frac{3e}{e^2+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)-3+6\sqrt{x})dx = 6$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^4 \frac{4x-f(x)}{\sqrt{x}}dx = 12$.

c) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle G: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x) \cdot \sqrt{x}$ este convexă.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{f(x)}{e^x}dx=\frac{5}{6}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{f'(x)}{x}dx=e(2e-1)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{0}^{a}\frac{xf(x)}{f(x-1)}dx=ae(5+\ln 3)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(x)}{\ln x} dx = 11$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e x(f(x)-4x\ln x)dx=3$.

c) Determinați o primitivă $\displaystyle F:(0, \infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$, pentru care axa $\displaystyle Ox$ este tangentă la graficul funcției $\displaystyle F$.