a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) e^{-x} dx = \frac{1}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1-a}^{-1+a} f(x) dx \ge -\frac{2a}{e}$, pentru orice $\displaystyle a \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 2f(x)dx = \frac{\pi}{4}$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle x$, orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este strict crescătoare.

c) Arătați că, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, cu $\displaystyle a<b$, $\displaystyle \int_a^b F^2(x)f(x)dx>0$, pentru orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_2^3 \frac{f(x)}{x}dx = 10$.

b) Demonstrați că $\displaystyle F(\sqrt{7}) < F(3)$, pentru orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle \int_2^3 f(x)dx = m(4 \ln 2-1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (x^2+4)f(x)dx=6$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{x}f(x)dx=\ln 2$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 f(x) dx = \frac{1}{2}\ln 2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\sqrt{5}} f^2(x) dx = \frac{19}{3}$.

c) Pentru fiecare număr natural $\displaystyle n, n \ge 2$, se consideră $\displaystyle I_n = \int_0^2 \frac{x^n}{f^2(x)} dx$. Determinați numărul natural $\displaystyle n, n \ge 2$, pentru care $\displaystyle I_{n+2}+4I_n=\frac{3}{n-1}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 e^{x^2}f(x)dx=12$.

b) Arătați că orice primitivă $\displaystyle G$ a funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{1}{f(x)}$ este convexă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 \frac{x^3}{e^{x^2}f(x)}dx = \frac{a-\sqrt{2}}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 e^x f(x)dx = e$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^0 f(x)dx = -1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 F(x)f'(x)dx = \frac{a(e+1)}{e^2}$, unde $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$ cu proprietatea $\displaystyle F(0)=0$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_{1}^{e}(3f(x)-x\ln x)dx=7$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \int_{1}^{e}\frac{f(x)}{x^3}dx=2\left(1-\frac{1}{e}\right)$.

c) Arătaţi că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei $\displaystyle g:[1,+\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{x+1}{f(x)}$, axa $\displaystyle Ox$ şi dreptele de ecuaţii $\displaystyle x=1$ şi $\displaystyle x=e$ are aria strict mai mare decât $\displaystyle 1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{3} \left(f(x) - \frac{1}{\sqrt{x+1}}\right) dx = 6$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{3} f(x) dx$.

c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [0,3] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$, este egal cu $\displaystyle \pi \left(\frac{91}{3} + \ln 4\right)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x) - 4\ln x) dx = 7$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e x f(x) dx = 3e^4 + 1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_1^{\sqrt{e}} f(x) F''(x) dx = \frac{(3e-1)(3e+5)}{2}$, pentru orice primitivă $\displaystyle F : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x+9) f(x) dx = 4$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^6 \frac{1}{8x} f(x) dx = \frac{3}{2}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 f(x^2) dx = 6(4 + a\pi)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - 3x) dx = 15$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x^2+3} dx = \frac{1}{3} \ln 2$.

c) Demonstrați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g : [1, 2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{x^3 + f(x)}{x}$ este egal cu $\displaystyle 2\pi f(3)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left( f(x)-\frac{3}{x} \right) dx = \frac{7}{3}$.

b) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle G:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} f(x)$ este crescătoare.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^3 \frac{1}{f(x)-\frac{3}{x}} dx = \frac{\pi}{12}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} (f(x)-x^3) dx = 8$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^2}{f(x)-x^2+2} dx = \frac{\ln 5}{3}$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{f(x)e^{-x}}{x}$. Arătați că orice primitivă $\displaystyle G:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g$ este concavă.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^3) dx=4$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 \frac{x^2}{f(x)-x^3-x} dx=\frac{\ln 2}{3}$.

c) Determinaţi $\displaystyle a \in (-\infty,0)$, știind că $\displaystyle \int_a^0 e^{-x}(f'(x)-f(x))dx = 1-a^2e^{-a}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{2}(x+3)^{2}dx=\frac{98}{3}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=\frac{1}{3}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{0}^{6}\frac{f(x)}{x+3}dx=3(a-\ln 3)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{2}(x+1)f(x)\,dx = 8$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,dx = 1+2\ln 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{1}^{2}\left(x^{2}-1\right)e^{x}f(x)\,dx = e(e+a)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1}(x^2+1)f(x)dx = \frac{5}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)dx = \ln 3$.

c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=(x^2+x+1)f(x)$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ are aria egală cu $\displaystyle e+1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (x^2+1)f(x) dx = 6$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_2^3 f(x) \ln 2 dx = \ln 2$.

c) Determinați $\displaystyle m \in (1,+\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_1^m \frac{e^x f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} dx = 6$.