a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = 2$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 x^2(f(x))^3 dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_1^x \ln(f(t))dt \ge \int_1^x \ln(4t^3+1) dt$, pentru orice $\displaystyle x \in [1, \infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} x\sqrt{x+1}\,f(x)\,dx = 7$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} f^{2}(x)\,dx$.

c) Știind că $\displaystyle F:(-1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = 2(x+1)\sqrt{x+1}-6\sqrt{x+1}+4$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$, arătați că $\displaystyle \int_{0}^{3} f(x)F(x)\,dx = 32$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x-9}{x^2-9}$.

b) Determinați intervalul de monotonie al funcției $\displaystyle f$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to +∞} (x-3)f(x)$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \ln x + 2e^x - 2x + 2021$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e f(x) \, dx = 2e^e - 4e + 3$.

c) Calculați $\displaystyle \int_1^2 xf(x) \, dx$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = x^2 - 4x\ln x + 4x + \ln x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^2 (x+2)f(x)dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m, m>2$, astfel încât $\displaystyle \int_2^m f(x)dx = 2m + \frac{1}{m} - \frac{17}{2}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{4} g(x) dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, $\displaystyle m \in (0,1)$, pentru care $\displaystyle \int_{m}^{1} f^2(x)g(x)dx = \frac{1}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{e^x}{2x+1} f(x) dx = e-1$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 e^x f(x) dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 \frac{1}{x(x+2)} f\left(\frac{1}{x}\right) dx = \frac{e-1}{2e^2}$.

a) Pentru $\displaystyle n=3$, se consideră funcția $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = (x^2+1)f(x)$. Determinați primitiva $\displaystyle G$ a funcției $\displaystyle g$ pentru care $\displaystyle G(0) = 2021$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ pentru $\displaystyle n=1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{\pi}{4} \le \int_0^1 f(x)dx \le 1$ pentru orice număr natural $\displaystyle n, n \ge 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{e}^2-1}{\mathrm{e}^2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x^2) \mathrm{d}x$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 x^n f(x) \mathrm{d}x$. Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1} + (n+1)I_n = 2\mathrm{e} - (n+1)I_n$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) \operatorname{d}x = \frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^3 f(x) \operatorname{d}x = 1+\ln \frac{9}{16}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a > 1$ astfel încât $\displaystyle \int_1^a f(x) \operatorname{d}x = \frac{1}{8}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1}(f(x)-3)dx=0$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1}(f(x)-x^3)e^{x}dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>0$, știind că $\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx = -a^2+5$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{2} (x+2)f(x)dx=6$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{4} \frac{f(x)}{x^2+1}dx$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \int_{0}^{n} (x^2-9)f(x)dx=n^2$.

a) Calculați $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x+1} dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x^2} dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a \in [\frac{1}{2}, 2)$, știind că $\displaystyle \int_a^2 \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} dx = 18$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e} (f(x)+x) dx = \frac{e^2+1}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) + x dx$.

c) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle F:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$ este convexă.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} (f(x)-x^2)dx = -2$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=\frac{6-\ln 2}{2}$.

c) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} x^4(f(x)+1)^2 dx$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x) + 2\sqrt{x}) dx = 8$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = x-\sqrt{x}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$.

c) Calculați $\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{f(x)} dx$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x)+1)dx = \frac{1}{3}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle \int_{1}^{e} xF(x) dx = \frac{e^3}{3} + \frac{1}{9}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a \in (0, +\infty)$, pentru care $\displaystyle \int_{0}^{a} (f(\sin x) + f(\cos x))\operatorname{tg} x dx = \ln a$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+1)f(x)dx = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^3 \frac{x}{f(x)}dx = 4+\ln 5$.

c) Demonstrați că $\displaystyle F(x+1) \geq F(x)+1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$, unde $\displaystyle F$ este o primitivă a lui $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)-3x^2-3) dx = e^2-e$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x(f(x)-e^x-3) dx = \frac{5}{2}$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0,1)$, știind că $\displaystyle \int_0^a \frac{1}{f(x)-f'(x)} dx = \frac{1}{6}$.