a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^2) dx = 1$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) e^{x^3+3x} dx$.

c) Arătați că $\displaystyle 15 \int_0^1 f^7(x) dx - 14 \int_0^1 f^6(x) dx = 128$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^2 f(x) dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^0 e^x f(x) dx = \frac{5-3e}{e}$.

a) Arătați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle [0, \pi]$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} 2f(x)f'(x)dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi} xf(x)dx = 1$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (x f(x) - x^2) dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^1 \frac{1}{f(x)} dx$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \frac{\pi^2}{3} + \frac{\pi}{4} - 1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) d x=e$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^{1} x f(x) d x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 x f(x) dx = e(e-1)$.

b) Calculați $\displaystyle \int_e^{e^2} \frac{g(x)}{xe^x} dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_1^e (f(x)+g(x)) dx = e^e$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>1$, pentru care $\displaystyle \int_1^a \frac{f(x)}{F(x)} dx = \ln \frac{8}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{\sqrt{x^2+1}}dx = \frac{3}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^2 f^2(x)dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^a f(x)dx \le \int_0^a f(x)dx$, pentru orice $\displaystyle a \in [2020, + \infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^2-3x)dx=0$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^2-x^3)e^x dx=3$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, primitiva funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=1$. Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{F^2(x)}dx=\frac{25}{37}$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x^2) dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x^2) e^x dx$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0,+\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_0^a (f(x)-f(-x)) dx = \ln(2a)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1(f(x)-x^2-x-1)dx=0$.

b) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=1$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x^2+1}e^x dx=(ae^2)^2-e$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)-\frac{1}{x}\right) dx = 4$.

b) Demonstraţi că funcţia $\displaystyle F:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=\frac{5x^2+2020}{2}+\ln x$ este o primitivă a funcţiei $\displaystyle f$.

c) Calculaţi $\displaystyle \int_1^e f(x)(5x-\ln x)dx$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x)-2)dx = \frac{1}{4}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(2)=7$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} e^x(f(x)-x^3+x^2)dx = 3e-4$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (f(x)-4x^2)dx = 24$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=2020$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, $\displaystyle m>1$, știind că $\displaystyle \int_1^m \frac{f(x)}{x^2}dx = \frac{17}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^4 (f(x) + \frac{2\sqrt{x}}{x^2})dx = 21$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{x^4}{12} + \frac{4}{3\sqrt{x}} + 2020x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x) + \frac{2\sqrt{x}}{x^2})e^x dx = e(2e-1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-1)dx = \frac{1}{2}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=0$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)+\frac{1}{f\left(\frac{1}{x}\right)}\right)dx = \ln\frac{5}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)\sqrt{x^2+4}-x)dx = \frac{5}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^2 \frac{x}{f(x)\sqrt{x^2+4}}dx$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=0$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-xe^x)dx = \frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x}dx = \frac{e^2-e+3}{2}$.

c) Se consideră $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, primitiva funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=0$. Arătați că $\displaystyle \int_0^1 F(x)dx = \frac{5-3e}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{e^x} dx = \frac{4}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 e^{-x}f(x)dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^1 x \ln(f(x)) dx = 2\ln 2 - 1$.