a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=5$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>1$, pentru care $\displaystyle \int_1^a \frac{f(x)}{x}dx=13+\ln a$.

a) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe intervalul $\displaystyle (1, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{e}^{e^2} (f(x)-\frac{1}{\ln x})dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a>e$, știind că $\displaystyle \int_{e}^{a} \ln x dx = 2a$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x)dx = 2\ln 2$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - \frac{2}{x+1}) \ln x dx$.

c) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 2F(x)f(x)dx = \frac{1}{4} + \ln 4 + \ln^2 a$, unde $\displaystyle F(0)=0$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^2 f(x)e^{-x}dx = \frac{8}{3}$.

b) Calculaţi $\displaystyle \int_1^e \frac{1}{x^2}f(\ln x)dx$.

c) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 f(x)F(x)dx=2(e-3)^2$, unde $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcţiei $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=0$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx = \frac{1}{6}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e} f(x) \ln x dx = e^2 - 7$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, $\displaystyle a>1$ pentru care $\displaystyle \int_{1}^{a} f(x) e^x dx = e^a - 3e$.

a) Determinați primitiva $\displaystyle G$ a funcției $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\left(1+e^x\right)f(x)$, pentru care $\displaystyle G(0)=0$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)\cos x\,dx=0$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^2+3x+5)f^2(x) dx = \frac{11}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-4}^{-1} x f(x^2+3x+5) dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\pi/2} \cos x f(\sin x) dx = 6-2\sqrt{5}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x)-1)dx = \ln(1+\sqrt{2})$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^{1} xf(x)dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} f(t)dt}{x} = 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 e^x f(x) dx = \frac{4}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(-x) dx$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, știind că funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = e^{-x}(-x^2+ax+b)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x^4+1)f(x)dx = \frac{1}{3}$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx \le \frac{\pi}{8}$.

c) Se consideră primitiva $\displaystyle F$ a lui $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=0$. Calculați $\displaystyle \int_0^1 F(x)dx$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^e f(x)dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_e^{e^2} x^2 F(x)dx = \frac{3}{2}$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^4 g(x)dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, $\displaystyle m>1$, pentru care $\displaystyle \int_1^m f(x)\cdot g(x)dx=20$.

a) Determinați numărul real $\displaystyle m$ astfel încât funcția $\displaystyle F$ să fie o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Pentru $\displaystyle m=4$, calculați $\displaystyle \int_1^2 f(x)dx$.

c) Pentru $\displaystyle m=0$, calculați $\displaystyle \int_1^2 xf(x)dx$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (x+1)(x+3)f(x)dx = 5$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x)dx$.

c) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle F : (-1,+\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$ este concavă.

a) Determinați primitiva $\displaystyle G:(-1,\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g:(-1,\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=(x^3+1)f_1(x)$, știind că $\displaystyle G(0)=2020$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f_1(x)dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_0^1 f_n(x)dx \le \frac{1}{n+1}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x) dx = 3$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_1^e \left( f(x)+\frac{2x-1}{x^2+1} \right) \ln x dx = e^2+a$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-\ln(2x+1)) dx = \frac{1}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx$.

c) Dacă $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$, arătați că $\displaystyle F(x) \le F\left(\frac{16}{5}\right)$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F:(0,\infty) \to \mathbb{R}, F(x) = \frac{x^2+1}{x} - \ln x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{2} (f(x) + \frac{1}{x})dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a>1$, astfel încât $\displaystyle \int_{1}^{a} f(x)dx = \frac{1}{2} - \ln 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 f(x)\sqrt{x^2+1}dx = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)\right)dx = \sqrt{5}-\sqrt{2}+\ln \frac{2+\sqrt{5}}{1+\sqrt{2}}$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (1, +\infty)$ astfel încât $\displaystyle \int_0^x f'(t)e^{t^2}dt = \ln(\sqrt{x^2+1}e^{2x}) + \ln(a-1)$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.