a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-2x) dx$.

b) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [0,1] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = e^x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle \int_0^a f(x)dx = 1 + \frac{2a^3}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-x^2-1)dx = \frac{1}{2}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, F(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+x+2017$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=2$ are aria egală cu $\displaystyle n^2-\frac{7}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 F(x)e^{-x} dx = -\frac{1}{2}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x^3 f(x)dx \le 20$.

a) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{e} (f(x)-\ln x)dx$.

b) Arătați că $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e} f(x)F(x)dx = \frac{e^2}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(\sqrt{x})}{e^{-x}} dx = \frac{e-1}{e}$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle (0, +\infty)$.

c) Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$, se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_n^{n+1} f(x) dx$. Demonstrați că șirul $\displaystyle (I_n)_{n \ge 1}$ este convergent.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-1)dx$.

b) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Calculați $\displaystyle \int_1^e f(x) \ln x dx$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{e^x}$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Fie $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ o primitivă a funcției $\displaystyle f$. Arătați că $\displaystyle F''(x) = -\frac{1}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

c) Calculați $\displaystyle \int_0^1 x f(x) dx$.

Notă: Subpunctul a) din subiectul dat are o eroare. Derivata funcției $\displaystyle f(x) = \frac{1}{e^x} = e^{-x}$ este $\displaystyle f'(x) = -e^{-x} = -\frac{1}{e^x}$. Deci enunțul este corect, am citit greșit inițial. Subpunctul b) cere să se arate că $\displaystyle F''(x) = -\frac{1}{e^x}$, unde $\displaystyle F$ este o primitivă a lui $\displaystyle f$. Aceasta ar însemna $\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{e^x}$. Dar $\displaystyle f(x) = \frac{1}{e^x}$. Deci $\displaystyle f'(x) = -f(x)$. Dacă $\displaystyle F$ este primitivă a lui $\displaystyle f$, atunci $\displaystyle F'=f$. Dacă $\displaystyle F'' = -f$, aceasta este corectă.

a) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)dx = 2$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x)dx = \frac{n^2-4}{2} + ln 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (f(x)-12x-5) dx = 0$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este o funcție convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{f(x)-12x-5}{x-2} dx = \frac{\pi}{8}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^e f(x) dx=2(4-\sqrt{e})$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \int_1^{e^{n+1}} f(x) dx = \frac{7}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{2f(x)}{e^x} dx = e^2-1$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=0$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 f(x)f'(x)dx = \frac{e^a}{2}$.

a) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1) = 0$.

b) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [1,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$ este egal cu $\displaystyle \frac{97\pi}{10}$.

c) Determinați numărul $\displaystyle m \in (1, \infty)$, știind că $\displaystyle \int_1^m (f(x)-x^2)dx = \frac{1}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^{1} (f(x)e^x - 3) dx = 6$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe intervalul $\displaystyle [-3, +\infty)$.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=n$ are aria egală cu $\displaystyle 4-6e^{-n}$.

b) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a > 2$, știind că $\displaystyle \int_1^a \frac{2}{x^3 f(x)} dx = 3 \ln 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = \frac{1}{e}.$

b) Demonstrați că $\displaystyle F(x) = (x-2)e^x + 2019$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f.$

c) Calculați $\displaystyle \int_0^1 F^2(x)f(x)dx.$

a) Arătați că funcția $\displaystyle F:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=-\frac{1}{\ln x}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_e^{e^2} f(x) dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a>e$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{1}{x \ln x}$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=e$ și $\displaystyle x=a$ are aria egală cu $\displaystyle 2a$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (x+1)f(x)dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle F: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = \frac{x^2}{2} - x + \ln(x+1)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a > 1$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x^3}$, axa $\displaystyle Ox$, dreptele de ecuații $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=a^2$ are aria egală cu $\displaystyle \ln 5$.

a) Calculați $\displaystyle \int_1^2 f(x)dx$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 2} f(x)$, $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)$ și $\displaystyle f(0)=2$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$, $\displaystyle f$