Se consideră funcţia $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{e^x}$.

a) Arătaţi că funcţia $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = -\frac{x^2+2x+2}{e^x}$ este o primitivă a funcţiei $\displaystyle f$.

b) Arătaţi că orice primitivă a funcţiei $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe intervalul $\displaystyle (0, 2)$.

c) Arătaţi că funcţia $\displaystyle F$ este concavă pe intervalul $\displaystyle (1, 3)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=\frac{2xe^x-2x+1}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^e f(x)\,dx=2e^e-4e+3$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=2e$.

c) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle G$ a funcției $\displaystyle g:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)-\frac{1}{x}$, este funcție convexă.

Pentru fiecare $\displaystyle n \in \mathbb{N}^*$ se consideră funcția $\displaystyle f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f_n(x) = \frac{x^{2n}}{x^2+4}$.

a) Stabiliți valoarea de adevăr a propoziției $\displaystyle \int_1^3 (x^2+4)f_1(x) \, dx = 7$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f_1(x) \, dx$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f_1$ care îndeplinește condiția $\displaystyle F(\sqrt{5}) = 2 + \ln 3$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x-1$ și $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=x^2+x$.

a) Verificați dacă funcția $\displaystyle G:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle G(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} (g(x)+2x-1) dx > 2$.