a) Arătați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este concavă pe $\displaystyle (0, \infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int \ln x \cdot f(x) dx$, $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle G : (0, \infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g : (0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x) \cdot F'(x)$, pentru care $\displaystyle G(1)=2$.

a) Calculați $\displaystyle \int (x^2+1) \cdot f(x) \, dx$.

b) Determinați funcția $\displaystyle G: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, primitivă a funcției $\displaystyle f'$, pentru care $\displaystyle G(1) = \ln 2$.

c) Calculați $\displaystyle \int f'(x) \cdot e^{f(x)} \, dx$.

a) Să se determine $\displaystyle a,b \in \mathbb{R}$ pentru care funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Să se calculeze $\displaystyle \int (x^2+1)f(x)dx$.

c) Să se arate că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este strict descrescătoare pe intervalul $\displaystyle [3, \infty)$.

a) Determinați numărul real $\displaystyle a$ știind că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int \frac{(x+1)^2}{x} dx$.

c) Calculați $\displaystyle \int \left(f(x) - \frac{1}{(x+1)^2}\right) dx$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 f(x)dx = 4$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a>2$ cu proprietatea că $\displaystyle \int_2^a \frac{f(x)-1}{x^2-1} dx = \ln(\sqrt{5})$.

c) Să se demonstreze că $\displaystyle 1 \le \int_0^1 \sqrt{x \cdot e^{f(x)}} dx \le e-1$.

a) Calculați $\displaystyle \int \frac{f^2(x)}{\ln x} dx$, $\displaystyle x > 1$.

b) Determinați o primitivă a funcției $\displaystyle f$ cu proprietatea $\displaystyle F(e) = 0$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^e x^3 f^2(x) dx = \frac{e^2+1}{4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2\left(f(x)+3x^2-2x\right)dx=16$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=2026$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \int_0^n\frac{f(x)}{x}\,dx=\frac{4n^3}{3}-2$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle g: (-\infty, 2) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = -\frac{2}{3}(2-x)\sqrt{2-x}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F: (-\infty, 2) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$ al cărei grafic trece prin punctul de coordonate $\displaystyle (1, \frac{1}{3})$.

c) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(-x^2) - f(x^2)}{f(x^2 - 2)} dx$, $\displaystyle x \in (0, 1)$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Demonstrați că $\displaystyle F(-1) < F(-\frac{1}{2})$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle G: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle G(x) = xf(x) + F(x)$ cu proprietatea că originea reperului cartezian $\displaystyle xOy$ este punct pe graficul funcției $\displaystyle G$.

a) Arătați că $\displaystyle I_1 = 1 - \ln 2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle I_{n+1} \le I_n$, pentru orice $\displaystyle n \in \mathbb{N}^*$.

c) Arătați că $\displaystyle n I_n = \frac{1}{2} - \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} dx$, pentru orice număr natural $\displaystyle n \ge 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} f(x)dx = \frac{4}{3}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{x}dx$.

c) Dacă $\displaystyle I = \int_1^2 \frac{f^2(x)}{x}dx$. În $\displaystyle x dx$, arătați că $\displaystyle I \in (1,2)$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle (0;+\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{2}^{e^2} f(x)dx$.

c) Dacă $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$ pe intervalul $\displaystyle (1;+\infty)$, demonstrați că $\displaystyle F(1) < F(4)$.

a) Determinați numerele reale $\displaystyle a, b$ pentru care funcția $\displaystyle F : (-1; +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = ax + b \ln(x + 1)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d}x$, $\displaystyle x \in (-1; +\infty)$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle G : (-1; +\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g : (-1; +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = (x + 1) \cdot f(x) + e^x + \sin x$ pentru care $\displaystyle G(0) = 0$.

a) Calculați $\displaystyle \int \frac{f(x)}{2x-4}\,dx$, pentru $\displaystyle x \in (2,\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int f(x)\,dx$, pentru $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

c) Să se determine primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1) = \frac{2}{3}$.

a) Determinați primitiva $\displaystyle G : R \to R$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle G(0) = \frac{1}{e}$.

b) Să se determine primitiva $\displaystyle G : R \to R$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle G(0) = \frac{f(x)}{x}$.

c) Să se demonstreze că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ are un punct de minim.

a) Determinaţi primitiva $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a funcţiei $\displaystyle f$ cu proprietatea că $\displaystyle F(0)=2024$.

b) Calculaţi $\displaystyle \int e^x \cdot f(x) \operatorname{d}x$.

c) Calculaţi $\displaystyle \int \frac{x+1}{f(x)} \operatorname{d}x$.

a) Calculați $\displaystyle \int (f(x) - g(x)) dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int (x+1)e^{x^2+x} dx$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ care verifică relația $\displaystyle F(e) = \ln(e+1)$.

a) Demonstrați că $\displaystyle f$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{g(x)}{f(x)} dx$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle h: [0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle h(x) = f(x) - g(x)$ este concavă.

a) Arătați că $\displaystyle \int f(x) \cdot \sqrt{x+2}\,dx = \frac{x^3}{3} + 4x + C$.

b) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este strict monotonă.

c) Determinați mulțimea primitivelor funcției $\displaystyle f$.