a) Să se calculeze $\displaystyle \int \frac{f(x)}{e^x} dx$.

b) Să se calculeze $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{(x-2)^2} dx$.

c) Demonstrați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

a) Să se arate că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Determinați o primitivă a funcției $\displaystyle f$, știind că graficul primitivei trece prin punctul de coordonate $\displaystyle A\left(-1,-\frac{2}{e}\right)$.

c) Să se arate că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty)$.

a) Arătați că orice primitivă $\displaystyle F:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, a funcției $\displaystyle f$ este crescătoare pentru $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int_1^3 \frac{x^3+9x}{x} \, dx$.

c) Calculați $\displaystyle \int f(x) \cdot \ln x \, dx$ unde $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

a) Calculați $\displaystyle \int\frac{f(x)}{x^2}\,dx$, pentru $\displaystyle x\in(0,+\infty)$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(2)=4$.

c) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle \left[\frac{2}{3},+\infty\right)$.

a) Calculați $\displaystyle \int \frac{x+1}{2x} f(x)dx$.

b) Să se determine $\displaystyle a,b,c$ astfel încât $\displaystyle F$ să fie o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Să se studieze monotonia funcției $\displaystyle F$, dacă $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_2^3 \frac{f(x)}{x} \, dx = \frac{7}{2}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ știind că $\displaystyle F(1) = -1$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_2^e \frac{f(x) \ln x}{x^2 - 1} \, dx = \frac{e^2}{2} - 2 \ln 2 + 1$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle g$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{1} e^x(g(x)-x^3-x^2)dx$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{f(x)}{x}dx = a - \frac{3}{2}$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F: (0, \infty) \to \mathbb{R}, F(x) = x \operatorname{arctg} x - \frac{1}{2} \ln(x^2+1)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \int_1^x f(t) dt$.

c) Determinați acea primitivă $\displaystyle G$ a funcției $\displaystyle g$ al cărei grafic conține punctul $\displaystyle A(\sqrt{3}, \ln 2)$.

a) Arătați că $\displaystyle F$ este o primitivă a lui $\displaystyle f$.

b) Calculați $\displaystyle \int_0^1 g(x)dx$, unde $\displaystyle g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, g(x)=\frac{e^x f(x)}{x^2+1}$.

c) Aflați intervalele de concavitate și convexitate ale funcției $\displaystyle F$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați primitiva funcției $\displaystyle f$, a cărei reprezentare grafică trece prin punctul $\displaystyle A(e, e+1)$.

c) Calculați $\displaystyle \int_1^e \frac{1}{x \cdot e^x} dx$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^2 f(x+3)^2dx$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ admite primitive pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Arătați că orice primitivă $\displaystyle G$ a funcției $\displaystyle g:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$, este concavă.

a) Calculați $\displaystyle \int e^x f(x)dx$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este concavă pe intervalul $\displaystyle [1, +\infty)$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = (e^{x^2+x} - 1)f(x)$, cu proprietatea $\displaystyle F(\ln 1) = \ln \sqrt{e}$.

a) Calculați $\displaystyle \int\frac{1}{x^2+6}\cdot f(x)\,dx$.

b) Calculați $\displaystyle \int\frac{x^2\cdot e^x}{f(x)}\,dx$.

c) Să se determine $\displaystyle m\in\mathbb{R}$, știind că funcția $\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=\left(x^2-2x+m\right)\cdot e^x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle F(x) = \frac{4x\sqrt{x}+1}{x}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este strict crescătoare pe intervalul $\displaystyle (0,+\infty)$.

c) Calculați $\displaystyle \int f^2(x) \cdot g(x) dx$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (F(x) - x^3 + 6x^2 - 2x) dx = 2$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle F$ pentru care $\displaystyle f(1)=7$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a > 1$, pentru care $\displaystyle \int_1^a \frac{F(x)+x}{x} dx = 8 + \ln a$.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă.

c) Să se calculeze $\displaystyle \int_1^e (x f(x) + F(x))dx$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 (f(x)-2x-2)dx = \frac{14}{3}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1)=2026$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a > -1$ pentru care $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)(f(x)-2x^2)dx = a^2$.

a) Aflați $\displaystyle a, b, c \in \mathbb{R}$, știind că $\displaystyle F$ este primitiva lui $\displaystyle f$.

b) Arătați că orice primitivă $\displaystyle G$ a funcției $\displaystyle f$ este strict crescătoare.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{G(x)-G(1)}{x^2-1}$, știind că $\displaystyle G$ este o primitivă oarecare a funcției $\displaystyle f$.

a) Calculați $\displaystyle \int f(x) dx$.

b) Demonstrați ca orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este strict descrescătoare pe $\displaystyle (0,1)$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(1) = -\frac{10}{9}$.