Se consideră polinomul $\displaystyle f=mX^3+2X^2-nX-2$, unde $\displaystyle m,n$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle f(1)=0$, pentru orice număr real $\displaystyle n \neq m$.

b) Pentru $\displaystyle m=3$, determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=-4$, unde $\displaystyle x_1,x_2,x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

2. Se consideră polinomul $\displaystyle f=(X^2+X-1)^{2024} \in \mathbb{R}[X]$.

a) Calculați $\displaystyle f(0)+f\left(-\frac{1}{3}\right)$.

b) Demonstrați că polinomul $\displaystyle f$ se divide cu $\displaystyle (4X-1)^{2012}$.

c) Determinați restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la $\displaystyle (4X^2-X)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3+2X+m \in \mathbb{R}[X]$, $\displaystyle m \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că dacă $\displaystyle f(1)=0$ atunci $\displaystyle m=-3$.

b) Calculați $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2$, unde $\displaystyle x_1,x_2,x_3$ sunt rădăcinile complexe ale polinomului $\displaystyle f$.

c) Dacă $\displaystyle m=-3$, determinați $\displaystyle a,b \in \mathbb{R}$, astfel încât $\displaystyle f=(X-1)(X^2+aX+b)$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3 - aX^2 + 8X + 3$, unde $\displaystyle a \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(0) = 8$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Pentru $\displaystyle a = -6$, arătați că polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle g = X^2 + 5X + 3$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a \in (-4, 4)$, atunci $\displaystyle f$ nu are toate rădăcinile reale.

Pe mulțimea $\displaystyle \mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = 2xy - x - y + 1$.

a) Verificați dacă $\displaystyle 2 \circ 1 = 1$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ (x+1) = 1$.

c) Se consideră numerele reale $\displaystyle a, b, c$ astfel încât $\displaystyle a+b+c = \frac{3}{2}$. Știind că $\displaystyle c = a \circ b$, arătați că $\displaystyle a+b+c = 1 + ab + bc + ca - abc$.