a) Arătați că $\displaystyle P(0)=-4$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle -1$ este rădăcină a polinomului $\displaystyle P$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2>5$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

a) Arătați că $\displaystyle P(2)=0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Pentru $\displaystyle a=1$, arătați că polinomul $\displaystyle P$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle g=X+1$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0, +\infty)$ pentru care $\displaystyle |x_1| + |x_2| + |x_3| = 8$, unde $\displaystyle x_1, x_2$ și $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

a) Arătați că $\displaystyle P(-1)=0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Pentru $\displaystyle a=2$, determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle (x_1-x_2)^2 + (x_2-x_3)^2 + (x_3-x_1)^2 = 4$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

a) Arătați că $\displaystyle P(0)=-5$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle 1$ este rădăcină a polinomului $\displaystyle P$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=5$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

a) Pentru $\displaystyle m=6$, arătați că $\displaystyle f(1)=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle (x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=x_1x_2x_3$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle f$, știind că restul împărțirii lui $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X-2$ este egal cu $\displaystyle 8$.

a) Arătați că $\displaystyle f(0)=-1$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Arătați că $\displaystyle x_1+x_2+x_3=3$, $\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m$ și $\displaystyle x_1x_2x_3=1$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle X-1$.

a) Arătați că $\displaystyle f(1)=-3$, pentru orice număr real nenul $\displaystyle a$.

b) Pentru $\displaystyle a=1$, determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la polinomul $\displaystyle g=X^2+3X-1$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle (x_1+1)(x_2+1)(x_3+1)=1$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

a) Pentru $\displaystyle m=1$, arătați că $\displaystyle P(1)=0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle x_1+2x_2+2x_3=1$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

c) Știind că restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la polinomul $\displaystyle X-2$ este $\displaystyle -5$, arătați că $\displaystyle P$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle X^2+1$.

a) Arătați că $\displaystyle f \left(1\right) = 0$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Pentru $\displaystyle m = -3$, arătați că $\displaystyle 3$ este rădăcină a polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 + x_1 x_2 x_3 + x_1 + x_2 + x_3 = 1$, unde $\displaystyle x_1$, $\displaystyle x_2$, $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

a) Pentru $\displaystyle a=1$, arătați că $\displaystyle P(-1)=0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle x_1+x_2+x_3-x_1x_2x_3=3$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

c) Pentru $\displaystyle a=9$, determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

a) Arătați că $\displaystyle f(0) = 2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle x_1x_2x_3(x_1 + x_2 + x_3) = 4$, unde $\displaystyle x_1, x_2$ și $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Știind că polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle X + 1$, determinați restul împărțirii lui $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X^2 - 2$.

a) Pentru $\displaystyle a=4$ și $\displaystyle b=0$, arătați că $\displaystyle P(-1)=0$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ știind că restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la polinomul $\displaystyle X^2-X+1$ este $\displaystyle X-1$.

c) Enunțul lipsește din imaginea subiectului.

a) Arătați că $\displaystyle f(-1)=0$, pentru orice număr real nenul $\displaystyle m$.

b) Determinați numărul real nenul $\displaystyle m$ pentru care restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la polinomul $\displaystyle g=X^2+2$ este egal cu $\displaystyle 11$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=1$, unde $\displaystyle x_1,x_2,x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

a) Pentru $\displaystyle a=5$, arătați că $\displaystyle P(1)=0$.

b) Pentru $\displaystyle a=3$, arătați că $\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=3$ și $\displaystyle x_1x_2x_3=2$, unde $\displaystyle x_1$, $\displaystyle x_2$, $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

c) Se consideră polinoamele $\displaystyle G=X-3$ și $\displaystyle H=X+2$. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la $\displaystyle G$ este egal cu restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la $\displaystyle H$.

a) Determinaţi restul împărţirii polinomului $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle g = X-2$.

b) Arătaţi că polinomul $\displaystyle f$ nu are rădăcini raţionale.

c) Arătaţi că $\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3 + \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + \frac{1}{x_4} = -8$.

a) Determinați $\displaystyle m \in \mathbb{R}$ pentru care polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu $\displaystyle X-1$.

b) Pentru $\displaystyle m=4$ arătați că $\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_1^2+x_2^2+x_3^2=-62$, unde $\displaystyle x_1,x_2,x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 27^x+9^x-17 \cdot 3^x+15=0$.

a) Calculați $\displaystyle f(1)$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la $\displaystyle X - 2$.

c) Calculați $\displaystyle x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f(1) - f(-1) = 12$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu $\displaystyle X-2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că toate rădăcinile polinomului $\displaystyle f$ sunt numere întregi.