Se consideră polinomul $\displaystyle P(X) = 2X^3 - 4X^2 - 7X + m$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle m = 9$, arătați că $\displaystyle f(1) = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care polinomul $\displaystyle P$ este divizibil cu $\displaystyle X + \sqrt{2}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că suma a două rădăcini ale polinomului $\displaystyle P$ este egală cu $\displaystyle 1$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P(X) = X^3 - 7X^2 + mX - 8$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle P(-1) + P(1) = -30$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle P(X)$ la $\displaystyle X-2X+1$, știind că $\displaystyle P(X)$ se divide cu $\displaystyle X-2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care polinomul $\displaystyle P(X)$ are trei rădăcini reale pozitive, în progresie geometrică.

Se consideră polinomul $\displaystyle P=X^3+X^2+mX+n$, unde $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle P(-1)-2P(0)+P(1)=2$, pentru orice numere reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, știind că polinomul $\displaystyle P$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle X^2-1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)(x_1^2+x_2^2+x_3^2)=1$, pentru orice numere reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3+2X^2-mX-2$, unde $\displaystyle m$ este număr real nenul.

a) Arătați că $\displaystyle f(1)=0$, pentru orice număr real nenul $\displaystyle m$.

b) Pentru $\displaystyle m=3$, determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=-4$, unde $\displaystyle x_1, x_2$ și $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f = 2X^3 - 4X^2 + 4X - 3.$

a) Arătați că $\displaystyle f(0) = -3.$

b) Demonstrați că numărul $\displaystyle a = \frac{3}{x_1 x_2} + \frac{3}{x_2 x_3} + \frac{3}{x_3 x_1}$ este natural, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile lui $\displaystyle f.$

c) Demonstrați că polinomul $\displaystyle f$ nu are toate rădăcinile reale.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=x^3+mx^2-mx+2$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle f(-2)=0$.

b) Pentru $\displaystyle m=1$, determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Se consideră $\displaystyle a=\frac{x_1}{x_2x_3}+\frac{x_2}{x_1x_3}+\frac{x_3}{x_1x_2}$. Demonstrați că $\displaystyle a \in [3,+\infty)$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3-4X^2+X+2$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

a) Arătați că $\displaystyle f(2)=2m-6$ pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Calculați $\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați $\displaystyle m \in \mathbb{R}$ pentru care $\displaystyle x_1 = 1-\sqrt{2}, x_2 = 1+\sqrt{2}, x_3 = 1+m$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră determinantul $\displaystyle D(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & 2 \\ 1 & 2-x & 3 \\ 1 & 2 & x \end{vmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle D(1)=5$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr întreg $\displaystyle p$, $\displaystyle p \neq 6$, numărul $\displaystyle D(p)$ este divizibil cu $\displaystyle 6-p$.

c) Determinați valoarea maximă pe care o poate lua $\displaystyle D(n)$, atunci când $\displaystyle n$ este număr natural.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3-15X^2+mX-80$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle m=95$, arătați că $\displaystyle f(1)=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle x_1(x_1-x_2)+x_2(x_2-x_3)+x_3(x_3-x_1)=0$, unde $\displaystyle x_1$, $\displaystyle x_2$ și $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle f$, știind că acestea sunt numere reale în progresie aritmetică.

În mulțimea $\displaystyle \mathbb{Z}_3[X]$ se consideră polinomul $\displaystyle f=X^4+\hat{a}X^3+\hat{b}X^2+\hat{c}X+\hat{d}$, unde $\displaystyle \hat{a}, \hat{b}, \hat{c}, \hat{d} \in \mathbb{Z}_3$.

a) Pentru $\displaystyle \hat{a}=\hat{1}$ și $\displaystyle \hat{b}=\hat{2}$, arătați că $\displaystyle \hat{f}(\hat{0})+\hat{f}(\hat{2})=\hat{2}$.

b) Determinați perechile $\displaystyle (\hat{a}, \hat{b}) \in \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$, pentru care polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu $\displaystyle X+\hat{2}$.

c) Arătați că, pentru orice $\displaystyle \hat{a}, \hat{b} \in \mathbb{Z}_3$, există $\displaystyle \hat{x}, \hat{y} \in \mathbb{Z}_3$, cu $\displaystyle \hat{x} \ne \hat{y}$, astfel încât $\displaystyle \hat{f}(\hat{x}) = \hat{f}(\hat{y})$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P = X^4+aX^3+bX^2-8$, unde $\displaystyle a$, $\displaystyle b$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle P(-1)=-15$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la polinomul $\displaystyle g=X^2-1$ este egal cu $\displaystyle 15X$.

c) Arătați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, polinomul $\displaystyle P$ nu are toate rădăcinile numere întregi.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^3-3X^2+2X+m$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle m=6$, arătaţi că $\displaystyle f(-1)=0$.

b) Determinaţi numărul real $\displaystyle m$ pentru care polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle g=X^2+2$.

c) Determinaţi numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=0$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P = X^3 + X^2 + mX - 4$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle m=1$, arătați că $\displaystyle f(2)=10$.

b) Pentru $\displaystyle m=-4$, determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle m$, polinomul $\displaystyle f$ nu are toate rădăcinile reale.

Se consideră polinomul $\displaystyle f=X^4+2X^3-8X^2+3MX+M$, unde $\displaystyle M$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle M=2$, arătați că $\displaystyle f(1)=3$.

b) Pentru $\displaystyle M=0$, determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul rațional $\displaystyle M$ pentru care polinomul $\displaystyle f$ are rădăcina $\displaystyle x_1=1+\sqrt{3}$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P=X^3+2X^2+mX-3$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Pentru $\displaystyle m=0$, arătați că $\displaystyle P(1)=0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care polinomul $\displaystyle P$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle X+1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle (1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)=x_1x_2x_3$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.