Se consideră matricea $\displaystyle M(m)=\begin{pmatrix} 1 & 2-m \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle M(1)+M(3)=2M(2)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(m) \cdot M(n)=M(m+n-2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$, știind că $\displaystyle M(x) \cdot M(x)=M(x^2-1)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2x \\ -2x & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(2))$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a)+A(0))=8$.

c) Știind că $\displaystyle \det(m A(n)+n A(m))=\det(m n A(1))+\det(n m A(1))+18$, pentru orice numere reale $\displaystyle m$, $\displaystyle n$, determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, $\displaystyle m<n$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = xy - 2(x+y) + 6$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x-2)(y-2) + 2$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x * x * x = x$.

c) Calculați $\displaystyle \log_2 2 * \log_2 3 * \log_2 4 * \dots * \log_2 2018$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă, cu element neutru, $\displaystyle x * y = \frac{1}{2} xy - \frac{3}{2} (x+y) + \frac{9}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = \frac{1}{2}(x-3)(y-3) + 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = x$.

c) Demonstrați că nu există niciun număr natural $\displaystyle n$ al cărui simetric în raport cu legea de compoziție „*” să fie număr natural.

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă $\displaystyle x \ast y = 5xy - 5x - 5y + 6$.

a) Demonstraţi că $\displaystyle x \ast y = 5(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinaţi valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x = x$.

c) Determinaţi numărul natural nenul $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \frac{1}{n^2} \ast \frac{1}{(n+1)^2} \ast \frac{1}{(n+2)^2} \ast \dots \ast \frac{1}{(n+2019)^2} = -19$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(x,y) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ y & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1,1)) = 2$.

b) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n-1,0) + A(n+1,0) = A(2018,0)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că există un număr real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x,1) \cdot A(x,1) = A(a,-2)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 0 & -a \\ 0 & 2 & 0 \\ -a & 0 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a))=0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b)=2A(ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Demonstrați că matricea $\displaystyle R=A(\log_2 3) \cdot A(\log_3 4) \cdot A(\log_4 5) \cdot \ldots \cdot A(\log_{15} 16)$ are toate elementele numere întregi.

Se consideră polinomul $\displaystyle P=X^3+X^2+mX+n$, unde $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ sunt numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle P(-1)-2P(0)+P(1)=2$, pentru orice numere reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, știind că polinomul $\displaystyle P$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle X^2-1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)(x_1^2+x_2^2+x_3^2)=1$, pentru orice numere reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 4 \\ -4 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(-1)) = 17$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(2019-a) + A(2019+a) = 2A(2019)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați perechile de numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$, pentru care $\displaystyle A(x)A(y) = 2A(-8)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A=\begin{pmatrix} 6 & -10 \ 3 & -5 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle M(a)=I_2+aA$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle M(a)M(b)=M(a+b+ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle M(1)+M(2)+...+M(2019)=2019M(a)$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(a)A(b)=abI_3 + (a+b)A(0)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(0)A(1)A(2) \dots A(2019) = n! A(0)$.