a) Arătați că $\displaystyle \det(X(1))=-4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle X(-a)+X(a)=X(2018)+X(-2018)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați perechile de numere reale $\displaystyle (a,b)$ pentru care $\displaystyle X(a)X(b)=X(a)X(b)$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = -\frac{x^2+2x-3}{(x^2+3)^2}$ pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle -1 \le f(x) + \frac{1}{2}f'(x) \le \frac{1}{2}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Notă: Subpunctul c) pare să aibă o eroare în enunț, menționând $\displaystyle y$ când se referă la funcția $\displaystyle f(x)$ și derivata sa $\displaystyle f'(x)$. Vom rezolva conform baremului, care ignoră $\displaystyle y$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(x)A(y)=A(x+y-2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle A(1)A(2)A(3)...A(10) = A(m^2+m+17)$.

a) Calculați determinantul matricei $\displaystyle M(1)$.

b) Calculați $\displaystyle M(x) = M(2018) - M(-2018)$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2+2x+3$ și $\displaystyle g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = s(x+a)^2+s(x+a)$. Demonstrați că $\displaystyle f(x o y o z) = f(x) - f(y) - f(z)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$.

a) Calculați $\displaystyle x o 8$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x o x = 1$. Demonstrați că $\displaystyle f(x o y o z) = f(x) - f(y) - f(z)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2+2x+3$. Demonstrați că $\displaystyle f(x o y o z) = f(x) - f(y) - f(z)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x, y$ și $\displaystyle z$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x - \frac{1}{10})(y - \frac{1}{10}) + \frac{1}{10}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = \frac{101}{10}$.

c) Calculați $\displaystyle \log_2 1 * \log_2 2 * \log_2 3 * \dots * \log_2 2018$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(X(3, 1)) = 0$.

b) Demonstrați că $\displaystyle X(a, b) \cdot X(c, d) = X(ac + 9bd, ad + bc)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a, b, c, d$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle (m, n)$ pentru care $\displaystyle \det(X(m, n)) = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle 2*2=2$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x*y=(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Calculați $\displaystyle 1*2*3* \dots * 2018$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x(x+2)}{(x^2+2x+2)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x_0=-1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 1 \le f(x) \le \frac{7}{4}$ și $\displaystyle f(x) \le 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

a) Demonstrați că $\displaystyle M(x)M(y)=M(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați inversa matricei $\displaystyle M(x)$, unde $\displaystyle x$ este număr real.

c) Determinați numărul real pozitiv $\displaystyle x$ pentru care are loc egalitatea $\displaystyle M(\sqrt{x})M(\sqrt{x+5})=M(5)$.