a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = 7(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x = x$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle a, b, c$ sunt numere naturale astfel încât $\displaystyle a \ast b \ast c = 48$, atunci numerele $\displaystyle a, b$ și $\displaystyle c$ sunt egale.

a) Arătați că $\displaystyle \Delta(0,2)=-2$.

b) Arătați că $\displaystyle \Delta(x,y)=(x-1)(y-1)(y-x)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Demonstrați că numărul $\displaystyle \Delta(m,n)$ este divizibil cu $\displaystyle 2$, pentru orice numere întregi $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$.

a) Calculați $\displaystyle A(0)+A(2)$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a)A(b)=A(2ab-a-b+1)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

c) Arătați că $\displaystyle A\left(\frac{1}{2}\right)A\left(\frac{3}{2}\right)A\left(\frac{5}{2}\right)\dots A\left(\frac{2017}{2}\right)=A\left(\frac{1}{2}\right)$.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(3))$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x)) - \det(A(y)) = \det(A(xy)) - \det(A(x)) \det(A(y))$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(1)) + \det(A(2)) + \dots + \det(A(n)) = n(n+1)$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

a) Arătați că $\displaystyle f(-2) \cdot f(5)=-28$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x=0$.

c) Arătați că, dacă $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ sunt numere reale astfel încât $\displaystyle (p+1)\cdot(q+1)<0$, atunci $\displaystyle f(p)\cdot f(q)<0$.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = 4(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că $\displaystyle N=2016 \circ 2017$ este pătratul unui număr natural.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle a \circ b=13$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = 2(x+3)(y+3) - 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că $\displaystyle 7 \ast 8 = 98 \ast 2017$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle x \ast x = 2$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2,3)) = 12$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(n,n^2)) \ge 0$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care inversa matricei $\displaystyle B = A(x,0) \cdot A(x,0)$ este matricea $\displaystyle A(x,0)$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = 3(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că $\displaystyle x * \left(-\frac{2}{3}\right) = x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n * (n-1) < 17$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x * y = 4\left(x+\frac{3}{4}\right)\left(y+\frac{3}{4}\right) - \frac{3}{4}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x * x = -\frac{3}{4}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, ştiind că $\displaystyle f(x) * f(y) = f(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ şi $\displaystyle y$, unde $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=ae^x-\frac{3}{4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=-7$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(y)-A(x)=(y-x)A(0)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle (A(a-1)+A(a))A(0)=(A^2(a)+7)I_2$.